北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6.3三角形的中位線教學(xué)設(shè)計(jì)反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6.3三角形的中位線教學(xué)設(shè)計(jì)反思》

《北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)6.3三角形的中位線教學(xué)設(shè)計(jì)反思》這是一篇八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課，通過實(shí)際生活中的例子引出三角形的中位線，又從理論上進(jìn)行了驗(yàn)證．在學(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)到了三角形中位線定理的應(yīng)用時(shí)機(jī)．對(duì)整個(gè)課堂的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，能夠促進(jìn)理解，提高認(rèn)識(shí)水平，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成和發(fā)展，更好地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)良性循環(huán).

6．3三角形的中位線

1．掌握中位線的定義以及中位線定理；(重點(diǎn))

2．綜合運(yùn)用平行四邊形的判定及中位線定理解決問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

如圖所示，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，你能求出需要籬笆的長度嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：三角形的中位線

【類型一】利用三角形中位線定理求線段的長

如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，AF平分∠CAB，交DE于點(diǎn)F.若DF＝3，則AC的長為()

A.32B．3C．6D．9

解析：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故選C.

方法總結(jié)：本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練應(yīng)用．

【類型二】利用三角形中位線定理求角

如圖，C、D分別為EA、EB的中點(diǎn)，∠E＝30°，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為()

A．80°B．90°C．100°D．110°

解析：∵C、D分別為EA、EB的中點(diǎn)，∴CD是三角形EAB的中位線，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，故選A.

方法總結(jié)：中位線定理牽扯到平行線，所以利用中位線定理中的平行關(guān)系可以解決一些角度的計(jì)算問題．

【類型三】運(yùn)用三角形的中位線性質(zhì)進(jìn)行證明

如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足為點(diǎn)M，延長CM交AB于點(diǎn)D，求MN的長．

解析：為證MN為△BCD的中位線，應(yīng)根據(jù)三線合一，得到DM＝MC，即可解決問題．

解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN為△BCD的中位線，∴MN＝12(5－3)＝1.

方法總結(jié)：當(dāng)已知三角形的一邊的中點(diǎn)時(shí)，要注意分析問題中是否有隱含的中點(diǎn)．如已知一個(gè)三角形一邊上的高又是這邊所對(duì)的角平分線時(shí)，根據(jù)“三線合一”可知，這實(shí)際上是又告訴了我們一個(gè)中點(diǎn)．

【類型四】中位線定理的綜合應(yīng)用

如圖，E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上一點(diǎn)，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

解析：本題可先證明△ABF≌△ECF，從而得出BF＝CF，這樣就得出了OF是△ABC的中位線，從而利用中位線定理即可得出線段OF與線段AB的關(guān)系．

解：AB＝2OF.

證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在平行四邊形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.∴在△ABF和△ECF中，∠BAF＝∠CEF，AB＝CE，∠ABF＝∠BCE，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位線，∴AB＝2OF，AB∥OF.

方法總結(jié)：本題綜合的知識(shí)點(diǎn)比較多，解答本題的關(guān)鍵是判斷出OF是△ABC的中位線．

三、板書設(shè)計(jì)

1．三角形的中位線

連接三角形的兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

2．三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．

本節(jié)課，通過實(shí)際生活中的例子引出三角形的中位線，又從理論上進(jìn)行了驗(yàn)證．在學(xué)習(xí)的過程中，體會(huì)到了三角形中位線定理的應(yīng)用時(shí)機(jī)．對(duì)整個(gè)課堂的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，能夠促進(jìn)理解，提高認(rèn)識(shí)水平，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成和發(fā)展，更好地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)良性循環(huán).

【反思】

中位線

三角形的中位線定理是三角形中很重要的性質(zhì)之一?！坝鲋悬c(diǎn)，找中點(diǎn)”，就是在幾何圖形中，如果遇到線段的中點(diǎn)，通常會(huì)找到另一相關(guān)線段的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形的中位線的性質(zhì)達(dá)到解題的目的，可見三角形的中位線在幾何證明中應(yīng)用有多么廣泛。

一、教材分析

這節(jié)課主要內(nèi)容是三角形的中位線概念及三角形中位線定理，教學(xué)所要達(dá)到的目標(biāo)是：

1、知識(shí)技能：理解三角形中位線的概念，會(huì)證明三角形中位線定理，并能熟練地應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。

2、數(shù)學(xué)思考：經(jīng)過探索三角形中位線定理的過程，理解它與平行四邊形的內(nèi)在聯(lián)系。yJS21.CoM

3、問題解決：經(jīng)過動(dòng)手實(shí)踐，觀察、測(cè)量、猜想、驗(yàn)證，體會(huì)定理推理的過程。

4、情感態(tài)度：培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識(shí)，形成幾何思維，體會(huì)幾何學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價(jià)值。

教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線定理。

教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線定理的證明中添加輔助線的思想方法。

二、本節(jié)課亮點(diǎn)

1、情景設(shè)疑，層層深入

課前先讓學(xué)生準(zhǔn)備三角形紙片，我以分三角形蛋糕為情景，設(shè)置了3個(gè)問題，讓學(xué)生通過折紙?zhí)骄浚?/p>

問題一：你能把這塊三角形蛋糕平均分為2個(gè)人嗎？

問題二：如果是平均分為4個(gè)人呢？

問題三：如果再提高要求，除了大小相同，形狀也要相同，又該怎么分呢？

對(duì)于問題一，學(xué)生能很快找到三角形邊上的中點(diǎn)，連接中點(diǎn)和頂點(diǎn)，形成中線，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，就能得到2個(gè)面積相等的三角形；

對(duì)于問題二，學(xué)生會(huì)想到在問題一的基礎(chǔ)上，再找到同邊上另兩個(gè)中點(diǎn)，形成3條中線，就有4個(gè)面積相等的三角形；或是找到另兩邊的兩個(gè)中點(diǎn)，中點(diǎn)與中點(diǎn)連接，形成4個(gè)面積相等的三角形，但這4個(gè)三角形并不全等；

問題三又提高難度，要求分成4個(gè)全等的三角形，學(xué)生已有了前兩個(gè)問題的提示，也不難想到，可以連接三個(gè)中點(diǎn)，但如何驗(yàn)證這4個(gè)三角形的面積就是全等的呢？這時(shí)，課前準(zhǔn)備的三角形紙片起到作用，我們可以通過剪下其中一個(gè)三角形，看看是否重合。

通過這三個(gè)問題的探究，不僅復(fù)習(xí)了中線的性質(zhì)，也引出了中位線的概念，也為接下來中位線定理的探究起到鋪墊的作用。

2、自主探索，勇于表達(dá)

在探究中位線定理時(shí)，我始終作為一個(gè)引導(dǎo)者，學(xué)生是解決問題的主人。學(xué)生通過小組討論交流，上臺(tái)展示，暢所欲言，各抒己見。從為題的題設(shè)和結(jié)論到證明添加輔助線的解答，全部由學(xué)生合作完成，同學(xué)們想到用“倍長中線法”和“旋轉(zhuǎn)法”證明。在這個(gè)過程中，有解說了一半思路不清，而尋求底下同學(xué)幫助的，也有同學(xué)想到用折疊的方法，但因存在不合理?xiàng)l件被其他同學(xué)舉手反駁的，證明方法就在同學(xué)們的講解討論中越辯越明，即使是基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)也被這求真的氛圍吸引，若有所思。同學(xué)們樂于自主探究，敢于上臺(tái)分享自己的思路想法，大方自信，表達(dá)清晰完整，這也是我們教師所需要培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)能力。

3、發(fā)散思維、一題多解

在中位線的應(yīng)用中，我鼓勵(lì)學(xué)生拓寬思維，嘗試著多種方法解決問題。如：

例1：如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

這道題學(xué)生用了三種方法：

方法一：連接AC和BD，因?yàn)橹形痪€定理，EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,所以EF∥HG,EH∥FG,根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即證出四邊形EFGH是平行四邊形。

方法二：連接AC和BD，因?yàn)橹形痪€定理，EF=1/2AC,HG=1/2AC，EH=1/2BD,FG=1/2BD,所以EF=HG,EH=FG，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即證出四邊形EFGH是平行四邊形。

方法三：連接AC，因?yàn)橹形痪€定理，EF∥AC，EF=1/2AC,HG∥AC,HG=1/2AC,所以EF=HG,EF∥HG，根據(jù)一組對(duì)邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形，即證出四邊形EFGH是平行四邊形。

練習(xí)1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD=1/2AB，點(diǎn)E、F分別為邊BC、AC的中點(diǎn)．求證：DF=BE．

這道題學(xué)生用了四種方法：

方法一：根據(jù)中位線定理，證明△DAF≌△EFC，可得DF=EC，因?yàn)镋C=BE,所以DF=BE。

方法二：如圖1，取AB的中點(diǎn)G,連接GF,證明△DAF≌△GAF,可得DF=GF，根據(jù)中位線定理，可證四邊形CBEF是平行四邊形，所以GF=BE，所以DF=BE。

方法三：如圖2，連接AE,根據(jù)中位線定理，可證四邊形DAEF是平行四邊形，所以DF=AE，且∠BAC=∠EFC=90°，所以EF是AC的垂直平分線，所以EC=AE,EC=BE,則DF=BE。

方法四：如圖3，取AB的中點(diǎn)G,連接GE,根據(jù)中位線定理，可證四邊形AGEF是平行四邊形，可得AF=GE，證明△DAF≌△BGE,則DF=BE。

三、本節(jié)課不足及改進(jìn)

1、應(yīng)適當(dāng)滲透“倍長中線法”

在探究中位線定理時(shí)，同學(xué)們的證明方法其實(shí)是“倍長中線法”，我可以再進(jìn)行補(bǔ)充總結(jié)，適當(dāng)拓寬知識(shí)點(diǎn)深度，讓同學(xué)們遇到證明線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，有倍長的意識(shí)，為即將升上九年級(jí)的同學(xué)們打下基礎(chǔ)，減輕繁雜的知識(shí)負(fù)擔(dān)。

2、應(yīng)合理分配時(shí)間，詳略得當(dāng)

在中位線應(yīng)用的習(xí)題上，例1和變式都屬于利用中位線證明平行四邊形，我在例1上花了時(shí)間讓同學(xué)們分享多種解法，在變式上則可不再鋪展開贅述，可把更多的時(shí)間留到拓展提升題上，學(xué)生有更充分的時(shí)間思考及書寫證明過程。

3、在習(xí)題選取上應(yīng)貼切中考

在拓展提升題中，有一道是利用中位線探究三角形周長和面積的規(guī)律問題，在課后評(píng)課中，一直從教中考畢業(yè)班有經(jīng)驗(yàn)的老師建議我：“這種題中考不會(huì)出現(xiàn)，選題時(shí)應(yīng)結(jié)合中考形勢(shì)選題，從大量習(xí)題中選出精題優(yōu)題?！边@也是我接下來改進(jìn)與提升的方向。

四、對(duì)課堂的思考

作為一名初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)實(shí)踐中注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)，在傳授知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法、體會(huì)數(shù)學(xué)思維。走出課堂或?qū)W校后，真正能遺留在學(xué)生記憶中，依靠數(shù)學(xué)解決問題才是真正的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在課堂中應(yīng)為學(xué)生提供充足的機(jī)會(huì)、提供土壤和平臺(tái)，讓學(xué)生在課堂中扮演主要角色，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，釋放每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，多給學(xué)生機(jī)會(huì)發(fā)表自己的觀點(diǎn)?？傊瑪?shù)學(xué)教師應(yīng)盡力做到以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

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八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角形的中位線》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)反思

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八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《三角形的中位線》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

一、設(shè)計(jì)思路

（一）指導(dǎo)思想：依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及新課程理念要求：“將數(shù)學(xué)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)上，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生在自主探究、合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1.理解三角形中位線的概念，會(huì)證明三角形的中位線定理，能應(yīng)用三角形中位線定理解決相關(guān)的問題；

2.進(jìn)一步經(jīng)歷“探索—猜想—證明”的過程，發(fā)展探究能力、推理論證的能力；培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

3在命題的證明過程中通過相互間的合作與交流，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力；利用制作的Powerpoint課件，創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生的熱情和興趣，激活學(xué)生思維。

4.在定理的證明和應(yīng)用過程中體會(huì)歸納、類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：三角形中位線性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用。

難點(diǎn)：用添加輔助線的方法來推理證明三角形中位線定理和性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

（四）教學(xué)方法與學(xué)法指導(dǎo)

對(duì)于三角形中位線定理的引入采用發(fā)現(xiàn)法，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過操作、探索、猜測(cè)等自主探究的方法先獲得結(jié)論再去證明。在此過程中，注重對(duì)證明思路的啟發(fā)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，提倡證明方法的多樣性，而對(duì)于定理的證明過程，則運(yùn)用多媒體演示。

二、教學(xué)準(zhǔn)備

【策略】

課堂組織策略：組織學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，聯(lián)系實(shí)際，創(chuàng)設(shè)問題情景，逐層展開，探索新知，并精心設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)、練習(xí)題、達(dá)到鞏固知識(shí)，解決問題的目的。

學(xué)生學(xué)習(xí)策略：明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，了解所需掌握的知識(shí)，在教師的組織、引導(dǎo)、點(diǎn)撥下，通過觀察、歸納、抽象、概括等手段，獲取知識(shí)。

輔助策略：借助“Powerpoint”平臺(tái)，向?qū)W生展示動(dòng)感幾何，化抽象為形象，幫助學(xué)生解決學(xué)習(xí)過程中所遇難題，提高學(xué)習(xí)效率。

【主要?jiǎng)?chuàng)意思路】

1、用實(shí)例引入新課，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)；

2、鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，用觀察、測(cè)量等方法來突破重點(diǎn)、化解難點(diǎn)；

3、以學(xué)生為主體，應(yīng)用啟發(fā)式教學(xué)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性；

4、利用開放型練習(xí)代替?zhèn)鹘y(tǒng)練習(xí)，啟迪學(xué)生的思維、開闊學(xué)生視野；

5、通過多媒體教學(xué)，揭示幾何知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系及概念的本質(zhì)屬性。

【教具和學(xué)具的準(zhǔn)備】

教具：多媒體、投影儀、三角形紙片、剪刀、常用畫圖工具。

學(xué)具：三角形硬紙片、剪刀、刻度尺、量角器。

三、教學(xué)過程

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)興趣

A、B兩地被池塘隔開不能直接到達(dá)(如圖)，工程人員要測(cè)量A、B兩地的距離，先選定能直接到達(dá)A、B兩地的點(diǎn)C，

又分別取AC、BC的中點(diǎn)M、N，量出MN的長，由此就知道了A、B兩地的距離．你知道其中的道理嗎？

引入課題：學(xué)完了本節(jié)課《三角形的中位線》你就能解決這個(gè)問題了。

【設(shè)計(jì)意圖】：此處設(shè)計(jì)一個(gè)問題情境，通過對(duì)所提問題的思考與解決，自然而然地引出了三角形的中位線的概念，并在所討論的圖形中隱含著三角形的中位線與底邊的關(guān)系。

第二環(huán)節(jié)：借機(jī)引導(dǎo)，明確概念

1、上圖中的線段MN是三角形中很重要的一條線段——中位線

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角形的中位線的定義：

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線

2、三角形的中位線與中線的區(qū)別

第三環(huán)節(jié)：問題引領(lǐng)，啟動(dòng)思維

（一）問題：

1、你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？

學(xué)生用事先準(zhǔn)備好的三角形來分，將分得的三角形疊放在一起，看看能否全等，學(xué)生通過操作進(jìn)一步的理解三角形的中位線，教師巡視指導(dǎo)。最后請(qǐng)一學(xué)生上臺(tái)演示，統(tǒng)一觀點(diǎn)。

2、你能通過剪拼的方式，將一個(gè)三角形拼成一個(gè)與其面積相等的平行四邊形嗎？

學(xué)生先小組內(nèi)討論，試著完成操作。

師生再共同總結(jié)操作過程：

（1）拿出事先準(zhǔn)備的三角形，記為△ABC

（2）分別取AB,AC中點(diǎn)D,E，連接DE

（3）沿三角形的中位線DE將△ABC剪成兩部分，并將△ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°到△CFE的位置，這樣就得到與△ABC面積相等的四邊形BCFD.。

（二）思考：所得四邊形BCFD是平行四邊形嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考平行四邊形的判別方法。

（1、定義法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

2、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

3、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。）

（三）探索結(jié)論：若四邊形BCFD是平行四邊形，那么中位線ＤＥ與第三邊

ＢＣ有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系呢？能證明你的猜想嗎？

（讓學(xué)生大膽猜想，開拓思維）

【設(shè)計(jì)意圖】：通過一個(gè)有趣的動(dòng)手操作問題入手，激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力，然后設(shè)置一連串的遞進(jìn)問題，啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝?ＢＣ，為定理的證明做好鋪墊。

第四環(huán)節(jié)：合作交流，自主探索

（一）、交流猜想（鼓勵(lì)學(xué)生說出自己的猜想，并說出猜想的方法）

①三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？

②你是怎樣猜想出這一結(jié)論的？

③歸納猜想方法：①直觀感覺②度量③推理④多畫幾個(gè)圖觀察⑤借助幾何畫板拖動(dòng)原三角形的頂點(diǎn)觀察（感受猜想策略的多樣性）

④教師用幾何畫板演示：①拖動(dòng)點(diǎn)A，隨著△ABC形狀的改變，DE還是△ABC的中位線嗎？線段BC的長度是否發(fā)生改變？DE和BC的關(guān)系還成立嗎？

②拖動(dòng)點(diǎn)B，隨著△ABC形狀的改變，DE還是△ABC的中位線嗎？線段BC的長度是否發(fā)生改變？DE和BC的關(guān)系還成立嗎？

（二）、得出結(jié)論：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（板書）

（三）、小組合作證明這一命題（教師巡視、指導(dǎo)）

要求：畫圖，寫出已知、求證、證明過程。學(xué)生先獨(dú)立解答，再小組討論，教師適當(dāng)加入學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論。

（四）、交流證明方法

第五環(huán)節(jié)：師生共析，證明定理

（一）、學(xué)生交流解題思路后，將證明過程用實(shí)物投影展示（引導(dǎo)學(xué)生找出證明過程優(yōu)點(diǎn)和不足，進(jìn)一步規(guī)范文字命題的證明步驟）

已知：如圖6-20（1），DE是△ABC的中位線.

求證E∥BC,DE=1／2BC

證明:如圖6-20(2),延長DE到F,使

EF=DE,連接CF.

在△ADE和△CFE中

∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE

∴△ADE≌△CFE

∴∠A=∠ECF,AD=CF

∴CF∥AB

∵BD=AD

∴BD=CF

∴四邊形DBCF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。）

∴DF∥BC（平行四邊形的定義）,DF=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）

∴DE∥BC,DE=1／2BC

能力提升：還有其他不同的證明方法嗎？

學(xué)生展示不同的做法：

證明方法二：如圖

過點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長線于點(diǎn)F,

∴BD∥CF,∠ADE=∠F.

∵∠AED=∠CEF,AE=EC,

∴△ADE≌△CFE(AAS)

∴AD=CF,DE=EF=1／2DF

∵BD=AD

∴CF=BD

∴四邊形DBCF是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∴DF∥BC,DF=BC

∴DE∥BC,DE=1／2BC

證明方法三：學(xué)生自己展示，講解。

（二）、歸納總結(jié)解題思路：

①證明線段平行：可以由角相等或互補(bǔ)得平行，由平行四邊形得出平行。

②證明一條線段等于另一條線段的一半，當(dāng)根據(jù)條件和圖形直接證明困難時(shí)可添加輔助線，通常采用“加倍法”（將較短線段延長一倍）或“折半法”（將較長線段折半）構(gòu)造全等三角形、平行四邊形來證明。

（三）、得出定理：把這一真命題作為一個(gè)定理——三角形中位線的性質(zhì)定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

分清定理的條件和結(jié)論，

并用符號(hào)語言表示定理：

∵DE是△ABC的中位線（或AD=BD,AE=CE或D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)）

∴DE∥BC,DE=1／2BC

【設(shè)計(jì)意圖】：培養(yǎng)學(xué)生互相學(xué)習(xí)、合作的好習(xí)慣。另外通過展示的規(guī)范化板書，嚴(yán)密的幾何證明,使學(xué)生理解證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，由感性到理性,使學(xué)生經(jīng)歷定理的探究過程,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).并通過一題多解，開拓學(xué)生的解題思路。

第六環(huán)節(jié)：靈活運(yùn)用，自我檢測(cè)

內(nèi)容:如圖,順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形的形狀有什么特點(diǎn)？

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論。

已知：如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，

求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

分析：

已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系．而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形．

證明：

投影展示學(xué)生的證明過程

總結(jié)：教師提問：你們從中得到了什么結(jié)論？

學(xué)生小結(jié)：連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形。

教師點(diǎn)撥：連接四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。

【設(shè)計(jì)意圖】：通過探究使學(xué)生靈活應(yīng)用三角形中位線定理解決相關(guān)問題，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，體會(huì)通過添加輔助線將四邊形的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，從中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

第七環(huán)節(jié)：反饋矯正，鞏固提升

1.A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，小明通過下面的方法估測(cè)出了A,B間的距離：在AB外選一點(diǎn)C，連結(jié)AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M、N，如果測(cè)得MN=20m，A、B兩點(diǎn)的距離就知道了。那么A、B兩點(diǎn)的距離是多少？為什么？

2．已知:三角形的各邊分別為6cm,8cm,10cm，則連結(jié)各邊中點(diǎn)所成三角形的周長為cm,面積為cm2,為原三角形面積的。

3．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、

AC、BD的中點(diǎn)。四邊形EGFH是平行四邊形嗎？

請(qǐng)證明你的結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】：呼應(yīng)開頭，用所學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活并指導(dǎo)生活同時(shí)鞏固三角形中位線定理,兼顧平行四邊形判定定理的熟練運(yùn)用.

第八環(huán)節(jié)：總結(jié)歸納，暢談收獲

（多媒體出示）

我學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？

我形成了哪些技能？

我掌握了哪些方法？

我收獲了哪些經(jīng)驗(yàn)？

【設(shè)計(jì)意圖】：用多媒體出示了總結(jié)性問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同方面回顧反思，自我評(píng)價(jià)。幫助學(xué)生理清課堂思路，總結(jié)過程和方法，進(jìn)一步強(qiáng)化情感體驗(yàn)。通過不同層面的廣泛交流，發(fā)展學(xué)生的表達(dá)能力，養(yǎng)成反思的習(xí)慣。

第九環(huán)節(jié)：分層作業(yè)，拓展延伸

A組習(xí)題1,2題B組習(xí)題3，4題

【設(shè)計(jì)意圖】：為使不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展，特設(shè)計(jì)了分層作業(yè)。通過作業(yè)鞏固三角形中位線定理并為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

【反思】

一、成功心得

1.教師成為了學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、參與者。

2.創(chuàng)造性的用教材，在使用教材的過程中融入了自己的科學(xué)精神和智慧，對(duì)教材知識(shí)進(jìn)行重組和整合，選取了更好的內(nèi)容對(duì)教材深加工，設(shè)計(jì)出活生生的、豐富多彩的課件，充分有效地將教材的知識(shí)激活，形成有教師教學(xué)個(gè)性的教材知識(shí)。把握住了教材的“度”，既有能力把問題簡明地闡述清楚，同時(shí)也有能力引導(dǎo)學(xué)生去探索、自主學(xué)習(xí)。

3.整個(gè)教學(xué)活動(dòng)始終建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是在教師的引導(dǎo)下自我建構(gòu)、自我生成的過程。

4.教學(xué)中注重了學(xué)生的全面發(fā)展，不僅僅關(guān)注學(xué)生的知識(shí)和技能的獲得情況，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程、方法以及相應(yīng)的情感態(tài)度和價(jià)值觀等方面的發(fā)展。

二、留下的遺憾

三角形的中位線多應(yīng)用于計(jì)算線段的長度、判斷線段與線段間的位置關(guān)系或大小關(guān)系。這節(jié)課上下來總體感覺內(nèi)容太多，以學(xué)生的實(shí)際情況來說安排一課時(shí)比較緊張。在對(duì)三角形中位線定理的多種證明方法的探討中做得不夠，后面的探究只能留在課后，學(xué)生的能力沒能展現(xiàn)出來。在今后的教學(xué)中要加大對(duì)學(xué)生分析問題、觀察問題、研究問題能力的培養(yǎng)。

在證明三角形中位線定理時(shí)，我感覺學(xué)生對(duì)輔助線的添加有困難，而且我在教課時(shí)沒有完全放開給學(xué)生去活動(dòng)，而是在我的一邊指導(dǎo)下一邊去做，我這么做的原因就是怕耽誤時(shí)間太長而完不成教學(xué)任務(wù)，可是這么一來卻束縛了學(xué)生的主動(dòng)探索的思維，體現(xiàn)不了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。我現(xiàn)在感覺像我這種牽引的做法不是太可取。

如果我在將課前預(yù)習(xí)落實(shí)更到位一些的基礎(chǔ)上，在證定理之前再設(shè)計(jì)這樣一個(gè)活動(dòng)，是不是要好一點(diǎn)，那就是如何將一個(gè)三角形分割成面積相等的平行四邊形，我覺得這樣設(shè)計(jì)會(huì)更好一點(diǎn)，因?yàn)橛辛诉@個(gè)活動(dòng)學(xué)生對(duì)證明三角形中位線定理時(shí)所添加的輔助線就比較容易理解，而且也能突出數(shù)學(xué)教學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3.7切線長定理1教學(xué)設(shè)計(jì)反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3.7切線長定理1教學(xué)設(shè)計(jì)反思》

《北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)3.7切線長定理1教學(xué)設(shè)計(jì)反思》這是一篇九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案，在教學(xué)過程中，通過安排實(shí)踐操作活動(dòng)，使學(xué)生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學(xué)生操作并思考回答問題，教師在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生體會(huì)從具體情景和實(shí)踐操作中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．通過設(shè)計(jì)問題情境，使學(xué)生提高解決問題的意識(shí)，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而不斷地比較，讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴(yán)格、精確，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程.

*3.7切線長定理

1．理解切線長的定義；(重點(diǎn))

2．掌握切線長定理并能運(yùn)用切線長定理解決問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

如圖①，PA為⊙O的一條切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)．如圖②所示，沿著直線PO將紙對(duì)折，由于直線PO經(jīng)過圓心O，所以PO是圓的一條對(duì)稱軸，兩半圓重合．設(shè)與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為點(diǎn)B，這里，OB是⊙O的一條半徑，PB是⊙O的一條切線．圖中PA與PB、∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？

二、合作探究

探究點(diǎn)：切線長定理

【類型一】利用切線長定理求線段的長

如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，如果∠APB＝60°，線段PA＝10，那么弦AB的長是()

A．10

B．12

C．53

D．103

解析：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB＝PA＝10.故選A.

方法總結(jié)：切線長定理是在圓中判斷線段相等的主要依據(jù)，經(jīng)常用到．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型二】利用切線長定理求角的度數(shù)

如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度數(shù)是________度．

解析：如圖所示，連接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易證△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案為20.

方法總結(jié)：由公共點(diǎn)引出的兩條切線，可以運(yùn)用切線長定理得到等腰三角形．另外根據(jù)全等的判定，可得到PO平分∠APB.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第3題

【類型三】利用切線長定理求三角形的周長

如圖，PA、PB、DE是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半徑為5cm，求△PDE的周長．

解析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OA⊥PA.根據(jù)勾股定理，得PA＝12，再根據(jù)切線長定理即可求得△PDE的周長．

解：連接OA，則OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根據(jù)勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切線，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周長PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.

方法總結(jié)：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

【類型四】利用切線長定理解決圓外切四邊形的問題

如圖，四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H，判斷AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解析：直接利用切線長定理解答即可．

解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.

方法總結(jié)：由切線長定理可以得到一些相等的線段，一定要明確這些相等線段．記住“圓外切四邊形的對(duì)邊之和相等”，對(duì)我們以后解決問題有很大幫助．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型五】切線長定理與三角形內(nèi)切圓的綜合

如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F.

(1)求證：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半徑．

解析：(1)利用切線長定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，進(jìn)而得出BD＝CF，即可得出答案；

(2)首先連接OD、OE、OF，進(jìn)而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，進(jìn)而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．

(1)證明：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；

(2)解：連接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四邊形ODAF是正方形．設(shè)OD＝AD＝AF＝r，則BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝22.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半徑是2－2.

方法總結(jié)：本題綜合考查了正方形的判定以及切線長定理和勾股定理等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是得出四邊形ODAF是正方形．

【類型六】利用切線長定理解決存在性問題

如圖①，已知正方形ABCD的邊長為23，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，P是線段MD上的一動(dòng)點(diǎn)(P不與M，D重合)，以AB為直徑作⊙O，過點(diǎn)P作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F，切點(diǎn)為E.

(1)除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段(不能添加字母和輔助線)?

(2)求四邊形CDPF的周長；

(3)延長CD，F(xiàn)P相交于點(diǎn)G，如圖②所示．是否存在點(diǎn)P，使BF?FG＝CF?OF？如果存在，試求此時(shí)AP的長；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

解析：(1)根據(jù)切線長定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根據(jù)切線長定理，發(fā)現(xiàn)該四邊形的周長等于正方形的三邊之和；(3)若要滿足結(jié)論，則∠BFO＝∠GFC，根據(jù)切線長定理得∠BFO＝∠EFO，從而得到這三個(gè)角應(yīng)是60°，然后結(jié)合已知的正方形的邊長，也是圓的直徑，利用30°的直角三角形的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算．

解：(1)FB＝FE，PE＝PA；

(2)四邊形CDPF的周長為FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P，使BF?FG＝CF?OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF?tan∠GFC＝CF?tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG?tan∠PGD＝DG?tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.

方法總結(jié)：由于存在性問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設(shè)存在性以后進(jìn)行的推理或計(jì)算．一般思路是：假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論．若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，若導(dǎo)出矛盾，就做出“不存在”的判斷．

三、板書設(shè)計(jì)

切線長定理

1．切線長的概念

2．切線長定理

3．切線長定理的應(yīng)用

在教學(xué)過程中，通過安排實(shí)踐操作活動(dòng)，使學(xué)生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學(xué)生操作并思考回答問題，教師在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生體會(huì)從具體情景和實(shí)踐操作中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．通過設(shè)計(jì)問題情境，使學(xué)生提高解決問題的意識(shí)，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認(rèn)識(shí)，進(jìn)而不斷地比較，讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴(yán)格、精確，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的過程.

北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《等量關(guān)系》教案設(shè)計(jì)反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《等量關(guān)系》教案設(shè)計(jì)反思》

《北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《等量關(guān)系》教案設(shè)計(jì)反思》這是一篇四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課通過兒童喜聞樂見的蹺蹺板導(dǎo)入，創(chuàng)設(shè)了生動(dòng)有趣的教學(xué)情境。借助課件直觀演示的方式使學(xué)生感受平衡和不平衡狀態(tài)。在教學(xué)過程中，學(xué)生始終是從生活情境中感知等式，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)來描述情境。在不斷尋找和交流中，讓學(xué)生從具體情境中找到等量關(guān)系。

上課解決方案

教案設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)說明

在數(shù)學(xué)課上，我們經(jīng)常利用等量關(guān)系解決一些簡單的實(shí)際問題，但是單把這項(xiàng)知識(shí)拿出來理解，學(xué)生就會(huì)有些茫然無措。為了使學(xué)生對(duì)等量關(guān)系有直觀的理解，并能從具體的情境中抽象出這種關(guān)系，在教學(xué)設(shè)計(jì)上注重了兩個(gè)方面：

1．關(guān)注“情境”在教學(xué)中的作用。

本節(jié)課通過兒童喜聞樂見的蹺蹺板導(dǎo)入，創(chuàng)設(shè)了生動(dòng)有趣的教學(xué)情境。借助課件直觀演示的方式使學(xué)生感受平衡和不平衡狀態(tài)。在教學(xué)過程中，學(xué)生始終是從生活情境中感知等式，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)來描述情境。在不斷尋找和交流中，讓學(xué)生從具體情境中找到等量關(guān)系。

2．充分發(fā)揮“自主探究”的學(xué)習(xí)精神。

本節(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、討論、比較、合作交流等活動(dòng)找到等量關(guān)系，以小組合作的形式進(jìn)行自主探究，獲得基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。如在表示妹妹的身高與姚明、笑笑身高的關(guān)系環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生通過觀察、討論、交流，找到各種等量關(guān)系。本節(jié)課給學(xué)生提供了歸納、類比、猜測(cè)、交流、反思的時(shí)間與空間，使學(xué)生的思維能力得到了進(jìn)一步的提高。

課前準(zhǔn)備

教師準(zhǔn)備PPT課件

教學(xué)過程

⊙創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1．談話引入。

(1)根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)想象老師和學(xué)生玩蹺蹺板的情境，蹺蹺板會(huì)怎樣？

(2)想辦法讓蹺蹺板平衡。

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)和老師玩蹺蹺板的情境，并想辦法讓蹺蹺板平衡，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能為下一環(huán)節(jié)做好鋪墊。

2．觀察主題圖。

(課件逐一出示動(dòng)物玩蹺蹺板的情境圖)

(1)觀察圖上信息，想辦法讓蹺蹺板平衡。

(2)用語言描述當(dāng)蹺蹺板平衡時(shí)誰和誰的質(zhì)量是相等的。

(3)全班交流，發(fā)現(xiàn)1只鵝的質(zhì)量相當(dāng)于2只鴨子和1只雞的質(zhì)量。

3．揭示課題。

通過剛才的討論我們知道了“1只鵝的質(zhì)量相當(dāng)于2只鴨子和1只雞的質(zhì)量”，這就是等量關(guān)系。(板書：等量關(guān)系)

設(shè)計(jì)意圖：蹺蹺板是學(xué)生熟悉的生活事物，同時(shí)又是體現(xiàn)等量關(guān)系的生活原型，既能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)，又能幫助學(xué)生理解什么是等量關(guān)系。

⊙合作交流，探究新知

1．根據(jù)數(shù)據(jù)分析數(shù)量關(guān)系，探索表示等量關(guān)系的方法。

課件出示教材64頁第二幅情境圖。

(1)提問：從圖中你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？

學(xué)生看圖，收集并交流發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息。

(2)根據(jù)這些信息，請(qǐng)你表示出妹妹的身高與姚明、笑笑身高的關(guān)系。

提示：可以用畫圖或文字的形式表示這些等量關(guān)系。

師：哪兩個(gè)人的身高有關(guān)系？

(同桌交流，全班匯報(bào))

預(yù)設(shè)生1：畫圖表示如下：

生2：我用式子表示，妹妹身高×2＝姚明身高，妹妹身高＋20厘米＝笑笑身高。

2．組織學(xué)生討論：有的同學(xué)找出了這樣的等量關(guān)系，你能看懂嗎？

①姚明身高÷2＝妹妹身高

②笑笑身高－20厘米＝妹妹身高

③姚明身高÷2＝笑笑身高－20厘米

思考：與上一問題相比，哪些是同一等量關(guān)系的不同表現(xiàn)形式？哪些是上一個(gè)問題中沒有的等量關(guān)系？它是怎樣得到的？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察比較，說出自己的發(fā)現(xiàn)。

小結(jié)：剛才我們?cè)谒麄兊纳砀哧P(guān)系中竟然找到了這么多的等量關(guān)系，還發(fā)現(xiàn)了同一個(gè)等量關(guān)系有不同的表現(xiàn)形式。

設(shè)計(jì)意圖：由于這三句話是相互聯(lián)系的，所以先把第二幅情境圖全部出示給學(xué)生，再讓學(xué)生自己進(jìn)行審題、分析，提高學(xué)生分析信息的能力；然后確定等量關(guān)系，積累學(xué)生關(guān)于發(fā)現(xiàn)、表達(dá)等量關(guān)系的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；最后展示并交流表示等量關(guān)系的方法，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“相等”的關(guān)系，明確等量關(guān)系的意義。

⊙鞏固練習(xí)，拓展應(yīng)用

1．填空。

(1)果園里有桃樹a棵，平均每棵桃樹收桃子360千克，果園共收桃子()千克。

(2)打字員小王每分打字90個(gè)，一份稿件她打了m分還剩c個(gè)字沒打。這份稿件一共有()個(gè)字。

(3)蘋果和香蕉的單價(jià)分別是每千克4.5元和6元，買x千克蘋果和y千克香蕉共需要()元。

(4)五個(gè)連續(xù)的整數(shù)，其中最小的數(shù)是n，這五個(gè)連續(xù)的整數(shù)的和是()。

2．完成教材65頁1題。

引導(dǎo)學(xué)生先觀察和描述平衡時(shí)蹺蹺板兩邊的情況，再用式子表示等量關(guān)系。

3．完成教材65頁2題。

結(jié)合具體情境找出數(shù)量間的等量關(guān)系，可以畫圖表示，也可以用式子表示。

⊙全課總結(jié)

說說你今天的收獲。

⊙布置作業(yè)

教材65頁4、5題。

板書設(shè)計(jì)

等量關(guān)系

1只鵝的質(zhì)量＝2只鴨子的質(zhì)量＋1只雞的質(zhì)量

妹妹身高×2＝姚明身高

妹妹身高＋20厘米＝笑笑身高

姚明身高÷2＝妹妹身高

笑笑身高－20厘米＝妹妹身高

姚明身高÷2＝笑笑身高－20厘米

【反思】

等量關(guān)系存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任何階段，學(xué)生在大量的解決問題的過程中都要使用到等量關(guān)系。同時(shí)找等量關(guān)系是列方程解決問題的關(guān)鍵，因此，教材為等量關(guān)系安排了獨(dú)立的課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，為后面方程的認(rèn)識(shí)和列方程解決問題打下良好的基礎(chǔ)。它隸屬于“數(shù)與代數(shù)”的范疇，等量關(guān)系是方程的核心，等量關(guān)系實(shí)質(zhì)就是代數(shù)思維、方程思想。史寧中教授認(rèn)為：方程的本質(zhì)是“在講兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事在數(shù)量上相等”。但因其抽象性，對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來講，理解起來有一定困難。怎樣才能讓孩子們通過數(shù)學(xué)思考，靈活地運(yùn)用“等量關(guān)系”來解決實(shí)際問題呢？帶著這些思考，我嘗試以直觀體驗(yàn)為主線，由直觀感受等量關(guān)系到操作體驗(yàn)等量關(guān)系，由淺入深，由易到難，層層遞進(jìn)。從課堂上孩子們展現(xiàn)的思維過程中，使我欣喜地看到：孩子們?cè)谟薪?jīng)歷、有體驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，通過有效的數(shù)學(xué)思考，很好地學(xué)會(huì)了找“等量關(guān)系”的方法。

一、創(chuàng)設(shè)情景感受等量關(guān)系

對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容“等量關(guān)系”，學(xué)生或多或少有一些認(rèn)識(shí)，但不具體、不規(guī)范。為此，我利用學(xué)生所熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)，合理處理教材，準(zhǔn)確定位。如課一開始，我用蹺蹺板這一生活中常見的量讓學(xué)生感知它既有“此起彼伏”的時(shí)候，也有左右平衡的時(shí)候，它的平衡就表示了兩端是“相等”的。進(jìn)而由雞、鴨、鵝在蹺蹺板上的平衡現(xiàn)象，使學(xué)生明白了不僅僅兩個(gè)完全相同的東西之間是等量關(guān)系，不同的東西之間只要重量（某一個(gè)特征）相等，他們也能構(gòu)成等量關(guān)系。借助直觀蹺蹺板幫助學(xué)生初步建立“=”用來表示“左邊和右邊數(shù)量相同的一種平衡狀態(tài)”的觀念，通過“不等”和“相等”兩種狀態(tài)的比較，強(qiáng)化相等狀態(tài)的認(rèn)識(shí)，并從直觀上理解等量關(guān)系就是兩邊的量一樣多，并建立等量關(guān)系的天平模型的直觀表象。同時(shí)以學(xué)生喜聞樂見講數(shù)學(xué)故事形式引入，也大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和欲望。

二、探究交流理解等量關(guān)系

通過根據(jù)蹺蹺板找等量關(guān)系、根據(jù)天平找等量關(guān)系、根據(jù)數(shù)量關(guān)系圖找等量關(guān)系、根據(jù)信息（關(guān)鍵句）找等量關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生借助直觀的天平模型，用等式表示等量關(guān)系。幫助學(xué)生理解等式的實(shí)質(zhì)是左邊放的和右邊放的數(shù)量相等。引導(dǎo)學(xué)生將文字描述的數(shù)量關(guān)系，借助天平模型轉(zhuǎn)化成等量關(guān)系，讓學(xué)生從原先的直觀天平操作，過渡到表象操作（根據(jù)數(shù)量關(guān)系圖在腦中想象一個(gè)平衡的天平），再到抽象操作（把想象的天平轉(zhuǎn)化成等式），經(jīng)歷完整的抽象過程?！靶⊙颉⑿÷?、小馬”三只小動(dòng)物比身高的情境。在學(xué)生思考分析的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過寫一寫、畫一畫等形式，體會(huì)相等關(guān)系，學(xué)會(huì)找等量關(guān)系。并了解到它們之間可以相互翻譯。用“數(shù)形結(jié)合”的思想，鼓勵(lì)不同層次的學(xué)生充分展示各自的思維過程，體驗(yàn)同一種數(shù)量關(guān)系可以用不同的等量關(guān)系式來表示的共同屬性。再引導(dǎo)學(xué)生切身經(jīng)歷對(duì)比、優(yōu)化的過程，提高了學(xué)生用不同的等量關(guān)系式表示相同的數(shù)量關(guān)系的能力。這樣的教學(xué)，既提高了學(xué)生用“等量關(guān)系式”表達(dá)生活原型的模型意識(shí)，又提升了學(xué)生構(gòu)建“等量關(guān)系式”這一模型的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)列方程解決問題夯實(shí)了基礎(chǔ)。隨著對(duì)“等量關(guān)系”問題的直觀感知，隱藏在直觀感知中的數(shù)學(xué)思想方法會(huì)逐漸顯現(xiàn)出來，教師就學(xué)要從更多的角度幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)等量關(guān)系。在這里，我利用教材提供的素材：他們還找到了這樣的等量關(guān)系，你能看懂嗎？幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到同規(guī)格等量關(guān)系可以用不同在形式表達(dá)，它們之間也是可以互相替代的。從而滲透“等量代換”的思想。不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“等量關(guān)系”這一問題的建模需要有一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深，逐步積累形成的過程。在這個(gè)過程中，需要我們教師做一個(gè)“過程”的加強(qiáng)者和引導(dǎo)者，去“敲打”學(xué)生的思維，讓學(xué)生在一次次的“敲打”過程中，積累、感悟、直到學(xué)會(huì)應(yīng)用。

以上，只是針對(duì)本課中自己感到成功的片段進(jìn)行的反思。雖有欣喜和成功，但同時(shí)還有一些遺憾：在學(xué)生發(fā)言時(shí)，為了趕時(shí)間，也沒能讓學(xué)生充分地?cái)⑹鲎约旱南敕?，而是急于將孩子們引?dǎo)到預(yù)設(shè)的解題思路中來，相信如果當(dāng)時(shí)放心讓孩子們相互敘述、補(bǔ)充，會(huì)是很精彩的，因?yàn)楹枚鄬W(xué)生的解題思路相當(dāng)清晰。在以后的課堂中我要力求做個(gè)“傻老師”，將盡量多的時(shí)間和空間留給學(xué)生，放心將課堂交給他們，一定會(huì)有更精彩的表現(xiàn)

北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)4.5利用三角形全等測(cè)距離教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)4.5利用三角形全等測(cè)距離教案反思》

《北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)4.5利用三角形全等測(cè)距離教案反思》這是一篇七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是能利用三角形全等的條件解釋生活中的實(shí)際問題。

4．5利用三角形全等測(cè)距離

1．復(fù)習(xí)并歸納三角形全等的判定及性質(zhì)；

2．能夠根據(jù)三角形全等測(cè)定兩點(diǎn)間的距離，并解決實(shí)際問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

如圖，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長．他叔叔幫他出了一個(gè)這樣的主意：

先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接AC并延長到D，使CD＝AC.連接BC并延長到E，使CE＝CB.連接DE并測(cè)量出它的長度，你知道其中的道理嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：利用三角形全等測(cè)量距離

【類型一】利用三角形全等測(cè)量物體的高度

小強(qiáng)為了測(cè)量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P.測(cè)得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC＝36°，測(cè)樓頂A視線PA與地面夾角∠APB＝54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于10米，量得旗桿與樓之間距離為DB＝36米，小強(qiáng)計(jì)算出了樓高，樓高AB是多少米？

解析：根據(jù)題意可得△CPD≌△PAB(ASA)，進(jìn)而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．

解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝54°.在△CPD和△PAB中，∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，∴△CPD≌△PAB(ASA)，∴DP＝AB.∵DB＝36米，PB＝10米，∴AB＝36－10＝26(米)．

答：樓高AB是26米．

方法總結(jié)：在現(xiàn)實(shí)生活中會(huì)遇到一些難以直接測(cè)量的距離問題，可以利用三角形全等將這些距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到測(cè)量目的．

【類型二】利用三角形全等測(cè)量物體的內(nèi)徑

要測(cè)量圓形工件的外徑，工人師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的卡鉗，點(diǎn)O為卡鉗兩柄交點(diǎn)，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圓形工件恰好通過卡鉗AB，則此工件的外徑必是CD的長，其中的依據(jù)是全等三角形的判定條件()

A．SSSB．SAS

C．ASAD．AAS

解析：如圖，連接AB、CD.在△ABO和△DCO中，OA＝OD，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，∴AB＝CD.故選B.

方法總結(jié)：利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊來測(cè)量不能直接測(cè)量的距離，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．

【類型三】與三角形全等測(cè)量距離相關(guān)的方案設(shè)計(jì)問題

如圖所示，有一池塘，要測(cè)量池塘兩端A、B的距離，請(qǐng)用構(gòu)造全等三角形的方法，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案(畫出圖形)，并說明測(cè)量步驟和依據(jù)．

解析：本題讓我們了解測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離的一種方法，設(shè)計(jì)時(shí)，只要符合全等三角形全等的條件，方案具有可操作性，需要測(cè)量的線段在陸地一側(cè)可實(shí)施，就可以達(dá)到目的．

解：在平地任找一點(diǎn)O，連OA、OB，延長AO至C使CO＝AO，延BO至D，使DO＝BO，則CD＝AB，依據(jù)是△AOB≌△COD(SAS)．

方法總結(jié)：在解決方案設(shè)計(jì)探究問題時(shí)，符合條件的方案設(shè)計(jì)往往有多種，解題的關(guān)鍵在于通過分析，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造出全等三角形進(jìn)行解決．

【類型四】利用三角形全等解決實(shí)際問題

如圖，工人師傅要在墻壁的O處用鉆頭打孔，要使孔口從墻壁對(duì)面的B點(diǎn)處打開，墻壁厚是35cm，B點(diǎn)與O點(diǎn)的鉛直距離AB長是20cm，工人師傅在旁邊墻上與AO水平的線上截取OC＝35cm，畫CD⊥OC，使CD＝20cm，連接OD，然后沿著DO的方向打孔，結(jié)果鉆頭正好從B點(diǎn)處打出，這是什么道理呢？請(qǐng)你說出理由．

解析：由OC與地面平行，確定了A，O，C三點(diǎn)在同一條直線上，通過說明△AOB≌△COD可得D，O，B三點(diǎn)在同一條直線上．

解：∵OC＝35cm，墻壁厚OA＝35cm，∴OC＝OA.∵墻體是垂直的，∴∠OAB＝90°.又∵CD⊥OC，∴∠OAB＝∠OCD＝90°.在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，OC＝OA，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD(ASA)，∴DC＝AB.∵DC＝20cm，∴AB＝20cm，∴鉆頭正好從B點(diǎn)出打出．

三、板書設(shè)計(jì)

1．利用全等三角形測(cè)量距離的依據(jù)

“SAS”“ASA”“AAS”

2．運(yùn)用三角形全等解決實(shí)際問題

通過實(shí)例引入課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，從而了解到全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用．在小組間的合作探究過程中，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽設(shè)想，充分展開聯(lián)想，對(duì)三角形全等的利用進(jìn)行深層的探究與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和獨(dú)立解決問題的能力

【反思】

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是能利用三角形全等的條件解釋生活中的實(shí)際問題。教學(xué)中先讓學(xué)生充分發(fā)表意見，并給予激勵(lì)性的評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋求發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。同時(shí)適當(dāng)?shù)匕呀逃?lì)策略運(yùn)用于教學(xué)活動(dòng)中，喚起學(xué)生揚(yáng)長避短的內(nèi)在要求，是一種較好的育人藝術(shù)。在這堂課里，首先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“現(xiàn)實(shí)情境”，使學(xué)生的練習(xí)具有“真實(shí)”地解決問題的意味，然后用角*模擬的方法進(jìn)行自由而舒暢的交流活動(dòng)。通過這樣的交流，可以激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，刺激他們思維的多向性與邏輯性，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生傾聽別人思路、拓展自己思維、修正自己不足的良好習(xí)慣，使他們?cè)诜e極的互動(dòng)中掌握知識(shí)，發(fā)展分析問題、解決問題的能力。同時(shí)，教師對(duì)學(xué)生的思維嚴(yán)密性和表達(dá)書寫能力又有明確的要求。注重教學(xué)中師生間的對(duì)話、教師對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，以及及時(shí)的反饋與評(píng)價(jià)。