北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3.6第2課時切線的判定及三角形的內(nèi)切圓1教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3.6第2課時切線的判定及三角形的內(nèi)切圓1教案反思》

《北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3.6第2課時切線的判定及三角形的內(nèi)切圓1教案反思》這是一篇九年級下冊數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課多處設(shè)計了觀察探究、分組討論等學(xué)生活動內(nèi)容，如動手操作“切線的判定定理的發(fā)現(xiàn)過程”，以及講解例題時學(xué)生的參與，課堂練習(xí)的設(shè)計都體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)原則.

3.6直線和圓的位置關(guān)系

第2課時切線的判定及三角形的內(nèi)切圓

1．掌握切線的判定定理，并會運用它進行切線的證明；(重點)

2．能靈活選用切線的三種判定方法判定一條直線是圓的切線；(難點)

3．掌握畫三角形內(nèi)切圓的方法和三角形內(nèi)心的概念.(重點)

一、情境導(dǎo)入

下雨天，當(dāng)你轉(zhuǎn)動雨傘，你會發(fā)現(xiàn)雨傘上的水珠順著傘面的邊緣飛出．仔細觀察一下，水珠是順著什么樣的方向飛出的？這就是我們所要研究的直線與圓相切的情況．

二、合作探究

探究點一：切線的判定

【類型一】已知直線過圓上的某一個點，證明圓的切線

如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求證：CD是⊙O的切線．

解析：要證明CD是⊙O的切線，即證明OC⊥CD.連接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，則∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.

證明：連接OC，如圖，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切線．

方法總結(jié)：一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結(jié)論，特別要注意“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第6題

【類型二】直線與圓的公共點沒有確定時，證明圓的切線

如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的⊙O與BC相切于點M.求證：CD與⊙O相切．

解析：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，用正方形的性質(zhì)得出AC平分角∠BCD，再利用角平分線的性質(zhì)得出OM＝ON即可．

證明：連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴CD與⊙O相切．

方法總結(jié)：如果直線與圓的公共點沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于半徑．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第5題

【類型三】切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB.

(1)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；

(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的長．

解析：(1)取BD的中點O，連接OE，如圖，由∠BED＝90°，可得BD為△BDE的外接圓的直徑，點O為△BDE的外接圓的圓心，再證明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得結(jié)論；(2)設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理和平行線分線段成比例定理，可求答案．

(1)證明：取BD的中點O，連接OE，如圖所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD為△BDE的外接圓的直徑，點O為△BDE的外接圓的圓心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圓的切線；

(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝23.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.

方法總結(jié)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

探究點二：三角形的內(nèi)切圓

【類型一】利用三角形的內(nèi)心求角的度數(shù)

如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點D、E、F分別在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，連接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()

A．40°

B．55°

C．65°

D．70°

解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O內(nèi)切于△ABC，切點分別為D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.故選B.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)心的概念，求出∠EOF的度數(shù)．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第10題

【類型二】求三角形內(nèi)切圓半徑Y(jié)Js21.COm

如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r為()

A．1B．2C．1.5D．2.5

解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝10，∴△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝6＋8－102＝2.故選B.

方法總結(jié)：記住直角邊為a、b，斜邊為c的三角形的內(nèi)切圓半徑為a＋b－c2，可以大大簡化計算．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

【類型三】三角形內(nèi)心的綜合應(yīng)用

如圖①，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交邊BC于點D，交△ABC的外接圓于點E.

(1)BE與IE相等嗎？請說明理由．

(2)如圖②，連接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60°，猜想四邊形BECI是何種特殊四邊形，并證明你的猜想．

解析：(1)連接BI，根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可證出IE＝BE；(2)由三角形的內(nèi)心，得到角平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到邊相等，由等量代換得到四條邊都相等，推出四邊形是菱形．

解：(1)BE＝IE.理由如下：如圖①，連接BI，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE，∴BE＝IE；

(2)四邊形BECI是菱形．證明如下：∵∠BED＝∠CED＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BE＝CE.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠4＝12∠ABC＝30°，∠ICD＝12∠ACB＝30°，∴∠4＝∠ICD，∴BI＝IC.由(1)證得IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四邊形BECI是菱形．

方法總結(jié)：解決本題要掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，以及圓周角定理．

三、板書設(shè)計

切線的判定及三角形的內(nèi)切圓

1．切線的判定方法

2．三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的概念

本節(jié)課多處設(shè)計了觀察探究、分組討論等學(xué)生活動內(nèi)容，如動手操作“切線的判定定理的發(fā)現(xiàn)過程”，以及講解例題時學(xué)生的參與，課堂練習(xí)的設(shè)計都體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)原則.

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北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3.8圓內(nèi)接正多邊形1教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3.8圓內(nèi)接正多邊形1教案反思》

《北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊3.8圓內(nèi)接正多邊形1教案反思》這是一篇九年級下冊數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課新概念較多，對概念的教學(xué)要注意從“形”的角度去認識和辨析，但對概念的嚴格定義不能要求過高．在概念教學(xué)中，要重視運用啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生從“形”的特征獲得對幾何概念的直觀認識，鼓勵學(xué)生用自己的語言表述有關(guān)概念，再進一步準(zhǔn)確理解有關(guān)概念的文字表述，促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)．所以在教學(xué)的過程中應(yīng)盡量使用多媒體教學(xué)手段.

3.8圓內(nèi)接正多邊形

1．了解圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)概念；(重點)

2．理解并掌握圓內(nèi)接正多邊形的半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系；(重點)

3．掌握圓內(nèi)接正多邊形的畫法．(難點)

一、情境導(dǎo)入

這些美麗的圖案，都是在日常生活中我們經(jīng)常能看到的．你能從這些圖案中找出正多邊形來嗎？

二、合作探究

探究點：圓內(nèi)接正多邊形

【類型一】圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)計算

已知正六邊形的邊心距為3，求正六邊形的內(nèi)角、外角、中心角、半徑、邊長、周長和面積．

解析：根據(jù)題意畫出圖形，可得△OBC是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得OB的長，繼而求得正六邊形的周長和面積．

解：如圖，連接OB，OC，過點O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝3，sin∠OBC＝OHOB＝32，∴OB＝BC＝2.∴內(nèi)角為180°×（6－2）6＝120°，外角為60°，周長為2×6＝12，S正六邊形ABCDEF＝6S△OBC＝6×12×2×3＝63.

方法總結(jié)：圓內(nèi)接正六邊形是一個比較特殊的正多邊形，它的半徑等于邊長，對于它的計算要熟練掌握．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第11題

【類型二】圓內(nèi)接正多邊形的畫法

如圖，已知半徑為R的⊙O，用多種工具、多種方法作出圓內(nèi)接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圓心角是120度的角；尺規(guī)作圖法：先將圓六等分，然后再每兩份合并成一份，將圓三等分．

解：方法一：(1)用量角器畫圓心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；

(2)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．

方法二：(1)用量角器畫圓心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圓規(guī)截取AC︵＝AB︵；

(3)連接AC，BC，AB，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．

方法三：(1)作直徑AD；

(2)以D為圓心，以O(shè)A長為半徑畫弧，交⊙O于B，C；

(3)連接AB，BC，CA，則△ABC為圓內(nèi)接正三角形．

方法四：(1)作直徑AE；

(2)分別以A，E為圓心，OA長為半徑畫弧與⊙O分別交于點D，F(xiàn)，B，C；

(3)連接AB，BC，CA(或連接EF，ED，DF)，則△ABC(或△EFD)為圓內(nèi)接正三角形．

方法總結(jié)：解決正多邊形的作圖問題，通?？梢允褂玫姆椒ㄓ袃纱箢悾憾攘糠ā⒊咭?guī)作圖法；其中度量法可以畫出任意的多邊形，而尺規(guī)作圖只能作出一些特殊的正多邊形，如邊數(shù)是3、4的整數(shù)倍的正多邊形．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

【類型三】正多邊形外接圓與內(nèi)切圓的綜合

如圖，已知正三角形的邊長為2a.

(1)求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積；

(2)根據(jù)計算結(jié)果，要求圓環(huán)的面積，只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面積？

(3)將條件中的“正三角形”改為“正方形”、“正六邊形”你能得出怎樣的結(jié)論？

(4)已知正n邊形的邊長為2a，請寫出它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積．

解析：正多邊形的邊心距、半徑、邊長的一半正好構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理就可以求解．

解：(1)設(shè)正三角形ABC的中心為O，BC切⊙O于點D，連接OB、OD，則OD⊥BC，BD＝DC＝a.則S圓環(huán)＝π?OB2－π?OD2＝πOB2－OD2＝π?BD2＝πa2；

(2)只需測出弦BC(或AC，AB)的長；

(3)結(jié)果一樣，即S圓環(huán)＝πa2；

(4)S圓環(huán)＝πa2.

方法總結(jié)：正多邊形的計算，一般是過中心作邊的垂線，連接半徑，把內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

【類型四】圓內(nèi)接正多邊形的實際運用

如圖①，有一個寶塔，它的地基邊緣是周長為26m的正五邊形ABCDE(如圖②)，點O為中心(下列各題結(jié)果精確到0.1m)．

(1)求地基的中心到邊緣的距離；

(2)已知塔的墻體寬為1m，現(xiàn)要在塔的底層中心建一圓形底座的塑像，并且留出最窄處為1.6m的觀光通道，問塑像底座的半徑最大是多少？

解析：(1)構(gòu)造一個由正多邊形的邊心距、半邊和半徑組成的直角三角形．根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到半邊所對的角是360°10＝36°，再根據(jù)題意中的周長求得該正五邊形的半邊是26÷10＝2.6，最后由該角的正切值進行求解；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，塔的墻體寬為1m和最窄處為1.6m的觀光通道，進行計算．

解：(1)作OM⊥AB于點M，連接OA、OB，則OM為邊心距，∠AOB是中心角．由正五邊形性質(zhì)得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝15×26＝5.2，∴AM＝2.6.在Rt△AMO中，邊心距OM＝AMtan36°＝2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到邊緣的距離約為3.6m；

(2)3.6－1－1.6＝1(m)．

所以，塑像底座的半徑最大約為1m.

方法總結(jié)：解決問題關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解答．熟悉正多邊形各個元素的算法．

三、板書設(shè)計

圓內(nèi)接正多邊形

1．正多邊形的有關(guān)概念

2．正多邊形的畫法

3．正多邊形的有關(guān)計算

本節(jié)課新概念較多，對概念的教學(xué)要注意從“形”的角度去認識和辨析，但對概念的嚴格定義不能要求過高．在概念教學(xué)中，要重視運用啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生從“形”的特征獲得對幾何概念的直觀認識，鼓勵學(xué)生用自己的語言表述有關(guān)概念，再進一步準(zhǔn)確理解有關(guān)概念的文字表述，促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)．所以在教學(xué)的過程中應(yīng)盡量使用多媒體教學(xué)手段.

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊6.3三角形的中位線教學(xué)設(shè)計反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊6.3三角形的中位線教學(xué)設(shè)計反思》

《北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊6.3三角形的中位線教學(xué)設(shè)計反思》這是一篇八年級下冊數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課，通過實際生活中的例子引出三角形的中位線，又從理論上進行了驗證．在學(xué)習(xí)的過程中，體會到了三角形中位線定理的應(yīng)用時機．對整個課堂的學(xué)習(xí)過程進行反思，能夠促進理解，提高認識水平，從而促進數(shù)學(xué)觀點的形成和發(fā)展，更好地進行知識建構(gòu)，實現(xiàn)良性循環(huán).

6．3三角形的中位線

1．掌握中位線的定義以及中位線定理；(重點)

2．綜合運用平行四邊形的判定及中位線定理解決問題．(難點)

一、情境導(dǎo)入

如圖所示，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，已知點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，你能求出需要籬笆的長度嗎？

二、合作探究

探究點：三角形的中位線

【類型一】利用三角形中位線定理求線段的長

如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，則AC的長為()

A.32B．3C．6D．9

解析：∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故選C.

方法總結(jié)：本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練應(yīng)用．

【類型二】利用三角形中位線定理求角

如圖，C、D分別為EA、EB的中點，∠E＝30°，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為()

A．80°B．90°C．100°D．110°

解析：∵C、D分別為EA、EB的中點，∴CD是三角形EAB的中位線，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，故選A.

方法總結(jié)：中位線定理牽扯到平行線，所以利用中位線定理中的平行關(guān)系可以解決一些角度的計算問題．

【類型三】運用三角形的中位線性質(zhì)進行證明

如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，點N為BC的中點，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足為點M，延長CM交AB于點D，求MN的長．

解析：為證MN為△BCD的中位線，應(yīng)根據(jù)三線合一，得到DM＝MC，即可解決問題．

解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN為△BCD的中位線，∴MN＝12(5－3)＝1.

方法總結(jié)：當(dāng)已知三角形的一邊的中點時，要注意分析問題中是否有隱含的中點．如已知一個三角形一邊上的高又是這邊所對的角平分線時，根據(jù)“三線合一”可知，這實際上是又告訴了我們一個中點．

【類型四】中位線定理的綜合應(yīng)用

如圖，E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長線上一點，且CE＝DC，連接AE，分別交BC、BD于點F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

解析：本題可先證明△ABF≌△ECF，從而得出BF＝CF，這樣就得出了OF是△ABC的中位線，從而利用中位線定理即可得出線段OF與線段AB的關(guān)系．

解：AB＝2OF.

證明如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在平行四邊形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.∴在△ABF和△ECF中，∠BAF＝∠CEF，AB＝CE，∠ABF＝∠BCE，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位線，∴AB＝2OF，AB∥OF.

方法總結(jié)：本題綜合的知識點比較多，解答本題的關(guān)鍵是判斷出OF是△ABC的中位線．

三、板書設(shè)計

1．三角形的中位線

連接三角形的兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．

2．三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．

本節(jié)課，通過實際生活中的例子引出三角形的中位線，又從理論上進行了驗證．在學(xué)習(xí)的過程中，體會到了三角形中位線定理的應(yīng)用時機．對整個課堂的學(xué)習(xí)過程進行反思，能夠促進理解，提高認識水平，從而促進數(shù)學(xué)觀點的形成和發(fā)展，更好地進行知識建構(gòu)，實現(xiàn)良性循環(huán).

【反思】

中位線

三角形的中位線定理是三角形中很重要的性質(zhì)之一?！坝鲋悬c，找中點”，就是在幾何圖形中，如果遇到線段的中點，通常會找到另一相關(guān)線段的中點，構(gòu)造三角形的中位線，利用三角形的中位線的性質(zhì)達到解題的目的，可見三角形的中位線在幾何證明中應(yīng)用有多么廣泛。

一、教材分析

這節(jié)課主要內(nèi)容是三角形的中位線概念及三角形中位線定理，教學(xué)所要達到的目標(biāo)是：

1、知識技能：理解三角形中位線的概念，會證明三角形中位線定理，并能熟練地應(yīng)用它進行有關(guān)的證明和計算。

2、數(shù)學(xué)思考：經(jīng)過探索三角形中位線定理的過程，理解它與平行四邊形的內(nèi)在聯(lián)系。

3、問題解決：經(jīng)過動手實踐，觀察、測量、猜想、驗證，體會定理推理的過程。

4、情感態(tài)度：培養(yǎng)學(xué)生合情推理意識，形成幾何思維，體會幾何學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價值。

教學(xué)重點：三角形中位線定理。

教學(xué)難點：三角形中位線定理的證明中添加輔助線的思想方法。

二、本節(jié)課亮點

1、情景設(shè)疑，層層深入

課前先讓學(xué)生準(zhǔn)備三角形紙片，我以分三角形蛋糕為情景，設(shè)置了3個問題，讓學(xué)生通過折紙?zhí)骄浚?/p>

問題一：你能把這塊三角形蛋糕平均分為2個人嗎？

問題二：如果是平均分為4個人呢？

問題三：如果再提高要求，除了大小相同，形狀也要相同，又該怎么分呢？

對于問題一，學(xué)生能很快找到三角形邊上的中點，連接中點和頂點，形成中線，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，就能得到2個面積相等的三角形；

對于問題二，學(xué)生會想到在問題一的基礎(chǔ)上，再找到同邊上另兩個中點，形成3條中線，就有4個面積相等的三角形；或是找到另兩邊的兩個中點，中點與中點連接，形成4個面積相等的三角形，但這4個三角形并不全等；

問題三又提高難度，要求分成4個全等的三角形，學(xué)生已有了前兩個問題的提示，也不難想到，可以連接三個中點，但如何驗證這4個三角形的面積就是全等的呢？這時，課前準(zhǔn)備的三角形紙片起到作用，我們可以通過剪下其中一個三角形，看看是否重合。

通過這三個問題的探究，不僅復(fù)習(xí)了中線的性質(zhì)，也引出了中位線的概念，也為接下來中位線定理的探究起到鋪墊的作用。

2、自主探索，勇于表達

在探究中位線定理時，我始終作為一個引導(dǎo)者，學(xué)生是解決問題的主人。學(xué)生通過小組討論交流，上臺展示，暢所欲言，各抒己見。從為題的題設(shè)和結(jié)論到證明添加輔助線的解答，全部由學(xué)生合作完成，同學(xué)們想到用“倍長中線法”和“旋轉(zhuǎn)法”證明。在這個過程中，有解說了一半思路不清，而尋求底下同學(xué)幫助的，也有同學(xué)想到用折疊的方法，但因存在不合理條件被其他同學(xué)舉手反駁的，證明方法就在同學(xué)們的講解討論中越辯越明，即使是基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)也被這求真的氛圍吸引，若有所思。同學(xué)們樂于自主探究，敢于上臺分享自己的思路想法，大方自信，表達清晰完整，這也是我們教師所需要培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)能力。

3、發(fā)散思維、一題多解

在中位線的應(yīng)用中，我鼓勵學(xué)生拓寬思維，嘗試著多種方法解決問題。如：

例1：如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點。四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？

這道題學(xué)生用了三種方法：

方法一：連接AC和BD，因為中位線定理，EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,所以EF∥HG,EH∥FG,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即證出四邊形EFGH是平行四邊形。

方法二：連接AC和BD，因為中位線定理，EF=1/2AC,HG=1/2AC，EH=1/2BD,FG=1/2BD,所以EF=HG,EH=FG，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即證出四邊形EFGH是平行四邊形。

方法三：連接AC，因為中位線定理，EF∥AC，EF=1/2AC,HG∥AC,HG=1/2AC,所以EF=HG,EF∥HG，根據(jù)一組對邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形，即證出四邊形EFGH是平行四邊形。

練習(xí)1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點D，使AD=1/2AB，點E、F分別為邊BC、AC的中點．求證：DF=BE．

這道題學(xué)生用了四種方法：

方法一：根據(jù)中位線定理，證明△DAF≌△EFC，可得DF=EC，因為EC=BE,所以DF=BE。

方法二：如圖1，取AB的中點G,連接GF,證明△DAF≌△GAF,可得DF=GF，根據(jù)中位線定理，可證四邊形CBEF是平行四邊形，所以GF=BE，所以DF=BE。

方法三：如圖2，連接AE,根據(jù)中位線定理，可證四邊形DAEF是平行四邊形，所以DF=AE，且∠BAC=∠EFC=90°，所以EF是AC的垂直平分線，所以EC=AE,EC=BE,則DF=BE。

方法四：如圖3，取AB的中點G,連接GE,根據(jù)中位線定理，可證四邊形AGEF是平行四邊形，可得AF=GE，證明△DAF≌△BGE,則DF=BE。

三、本節(jié)課不足及改進

1、應(yīng)適當(dāng)滲透“倍長中線法”

在探究中位線定理時，同學(xué)們的證明方法其實是“倍長中線法”，我可以再進行補充總結(jié)，適當(dāng)拓寬知識點深度，讓同學(xué)們遇到證明線段數(shù)量關(guān)系時，有倍長的意識，為即將升上九年級的同學(xué)們打下基礎(chǔ)，減輕繁雜的知識負擔(dān)。

2、應(yīng)合理分配時間，詳略得當(dāng)

在中位線應(yīng)用的習(xí)題上，例1和變式都屬于利用中位線證明平行四邊形，我在例1上花了時間讓同學(xué)們分享多種解法，在變式上則可不再鋪展開贅述，可把更多的時間留到拓展提升題上，學(xué)生有更充分的時間思考及書寫證明過程。

3、在習(xí)題選取上應(yīng)貼切中考

在拓展提升題中，有一道是利用中位線探究三角形周長和面積的規(guī)律問題，在課后評課中，一直從教中考畢業(yè)班有經(jīng)驗的老師建議我：“這種題中考不會出現(xiàn)，選題時應(yīng)結(jié)合中考形勢選題，從大量習(xí)題中選出精題優(yōu)題。”這也是我接下來改進與提升的方向。

四、對課堂的思考

作為一名初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)實踐中注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的培養(yǎng)，在傳授知識的同時，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法、體會數(shù)學(xué)思維。走出課堂或?qū)W校后，真正能遺留在學(xué)生記憶中，依靠數(shù)學(xué)解決問題才是真正的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師在課堂中應(yīng)為學(xué)生提供充足的機會、提供土壤和平臺，讓學(xué)生在課堂中扮演主要角色，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，釋放每個學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，多給學(xué)生機會發(fā)表自己的觀點?？傊?，數(shù)學(xué)教師應(yīng)盡力做到以數(shù)學(xué)知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊6.2第1課時反比例函數(shù)的圖象優(yōu)秀教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊6.2第1課時反比例函數(shù)的圖象優(yōu)秀教案反思》

《北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊6.2第1課時反比例函數(shù)的圖象優(yōu)秀教案反思》這是一篇九年級上冊數(shù)學(xué)教案，這節(jié)課主要是通過學(xué)生自主探究、觀察、類比學(xué)習(xí)，探索得出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷了一次自主獲取新知的成功體驗，充分體現(xiàn)自主探究的學(xué)習(xí)方法。

6.2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第1課時反比例函數(shù)的圖象

1.會用描點法畫出反比例函數(shù)的圖象，并掌握反比例函數(shù)圖象的特征；（重點）

2.會利用反比例函數(shù)圖象解決相關(guān)問題.（難點）

一、情景導(dǎo)入

已知某面粉廠加工出4000噸面粉，廠方?jīng)Q定把這些面粉全部運往B市.

所需要的時間t（天）和每天運出的面粉總重量m（噸）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？你能在平面直角坐標(biāo)系中形象地畫出這個函數(shù)關(guān)系的圖象嗎？

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)的圖象

【類型一】判斷反比例函數(shù)所在的象限

反比例函數(shù)y＝－6x的圖象在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

解析：因為k＝－6＜0，所以反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限.故選D.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)y＝kx的圖象是由兩支曲線組成的.當(dāng)k＞0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)；當(dāng)k＜0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi).

【類型二】由反比例函數(shù)圖象的位置確定k的取值范圍

若雙曲線y＝2k－1x的兩個分支分別在第二、四象限，則k的取值范圍是（）

A.k＞12B.k＜12

C.k＝12D.不存在

解析：反比例函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，則必有2k－1＜0，解得k＜12.故選B.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)的圖象的位置由k的符號確定.

【類型三】實際問題的反比例函數(shù)圖象

已知一個長方形的面積是8，則這個長方形的一組鄰邊長y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是圖中的（）

解析：本題是一道有關(guān)反比函數(shù)的實際問題.已知長方形的面積是8，兩鄰邊的長分別是x，y，所以x·y＝8，即y＝8x，所以此函數(shù)屬于反比例函數(shù).而長方形的任意一邊的長度都必須大于0，故x的取值范圍是x＞0.由k＞0且x＞0可知，函數(shù)的圖象只在第一象限內(nèi)，故選D.

方法總結(jié)：在解決與反比例函數(shù)的圖象有關(guān)的實際問題時，因自變量的取值范圍有限制，常只有一個分支或一個分支中的部分曲線段符合題意.

探究點二：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用

在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax＋b與y＝abx（ab≠0）的圖象大致是（）

解析：在A、B中，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，∴ab＞0.而觀察一次函數(shù)的圖象，在A中，a＞0，b＜0，矛盾；在B中，a＜0，b＞0，矛盾.在C、D中，反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，∴ab＜0.再觀察一次函數(shù)的圖象，在C中，a＜0，b＞0，符合題意；在D中，a＞0，b＞0，矛盾，故選C.

方法總結(jié)：在每個選項中可先由一個函數(shù)圖象的位置得出a、b的符號情況，然后在另一個函數(shù)圖象上檢驗，若無矛盾，則此選項正確，否則就是錯誤的.

已知反比例函數(shù)y＝kx的圖象與一次函數(shù)y＝3x＋m的圖象相交于點（1，5）.

（1）求這兩個函數(shù)的解析式；

（2）求這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標(biāo).

解：（1）∵點（1，5）在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上，

∴5＝k1，即k＝5，

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝5x.

又∵點（1，5）在一次函數(shù)y＝3x＋m的圖象上，

∴5＝3＋m，即m＝2，

∴一次函數(shù)的解析式為y＝3x＋2；

（2）由題意，聯(lián)立y＝5x，y＝3x＋2.

解得x1＝1，y1＝5或x2＝－53，y2＝－3.

∴這兩個函數(shù)圖象的另一個交點的坐標(biāo)為（－53，－3）.

三、板書設(shè)計

反比例函數(shù)的圖象形狀：雙曲線位置當(dāng)k＞0時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)當(dāng)k＜0時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)畫法：列表、描點、連線（描點法）

通過學(xué)生自己動手列表、描點、連線，提高學(xué)生的作圖能力.理解函數(shù)的三種表示方法及相互轉(zhuǎn)換，對函數(shù)進行認識上的整合，逐步明確研究函數(shù)的一般要求.反比例函數(shù)的圖象具體展現(xiàn)了反比例函數(shù)的整體直觀形象，為學(xué)生探索反比例函數(shù)的性質(zhì)提供了思維活動的空間.

【反思】

這節(jié)課主要是通過學(xué)生自主探究、觀察、類比學(xué)習(xí)，探索得出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷了一次自主獲取新知的成功體驗，充分體現(xiàn)自主探究的學(xué)習(xí)方法。根據(jù)本節(jié)課的知識特點，首先回顧了正比例函數(shù)一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí)模式，讓學(xué)生首先明白該做什么，該怎么做的問題。其次是讓學(xué)生類比正比例函數(shù)以及一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的的研究內(nèi)容，讓學(xué)生明白我們應(yīng)該從圖像上去識別什么，觀察什么，通過類比學(xué)生明白了應(yīng)該研究圖像的形狀，圖像在不同象限時函數(shù)的增減性。最后展示一些有關(guān)性質(zhì)的習(xí)題讓學(xué)生利用醫(yī)學(xué)知識來解決此類問題，檢測學(xué)習(xí)目的的達成。

帶著這樣的思路,我設(shè)計了《反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)》教案。對教學(xué)中體會較深的幾點如下：

首先,目的明確了，做起事情才有方向，這節(jié)課學(xué)生通過我的引導(dǎo)，類比正比函數(shù)和一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究方式途徑，學(xué)生一回憶，方向明確了，自主探究起來也就有了方向，知道了自己應(yīng)該怎么做。

其次,數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性，一個問題讓我們?nèi){空想象在自己的腦海里構(gòu)圖，想起來對相當(dāng)多的學(xué)生還存在很到大的困難，但是只要我們把圖做出來，再在圖中尋找信息就變得直觀形象。讓人看起來一目了然，數(shù)形一結(jié)合，信息就自然明了。

再次，及時鞏固是重點，學(xué)生既然能很好的總結(jié)知識點，那么我們就應(yīng)該讓學(xué)生把總結(jié)的知識點加深鞏固，這就要設(shè)計切合實際的練習(xí)題，還應(yīng)該緊扣本節(jié)課所學(xué)知識，我在設(shè)計習(xí)題的過程中特意的做了安排，只要學(xué)生能判斷來一個反比例函數(shù)的比例系數(shù)就能很好的完成函數(shù)所在象限和增減性的判斷。

通過課堂學(xué)生的表現(xiàn)看，本節(jié)課的知識學(xué)生掌握的比較好，尤其是在平時的課堂上從不發(fā)言的王某、李某等人都踴躍舉手回答，當(dāng)然都是正確的。這讓我深深地反思了自己平常的教學(xué)，我們更應(yīng)該把課堂還給孩子，因為他們才是課堂的主體。

北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊6.2第2課時反比例函數(shù)的性質(zhì)優(yōu)秀教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊6.2第2課時反比例函數(shù)的性質(zhì)優(yōu)秀教案反思》

《北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊6.2第2課時反比例函數(shù)的性質(zhì)優(yōu)秀教案反思》這是一篇九年級上冊數(shù)學(xué)教案，圖像的變化趨勢有什么影響？從這些方面去比較理解反比例函數(shù)與一次函數(shù)，幫助學(xué)生將所學(xué)知識串聯(lián)起來，提高學(xué)生綜合能力。運用多媒比較兩函數(shù)圖像，使學(xué)生更直觀、更清楚地看清兩函數(shù)的區(qū)別。從而使學(xué)生加深對兩函數(shù)性質(zhì)的理解。

第2課時反比例函數(shù)的性質(zhì)

1.理解并掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)；（重點）

2.能利用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題.（難點）

一、情景導(dǎo)入

在一個平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)所提供的兩組數(shù)據(jù)描繪出相應(yīng)的反比例函數(shù)圖象.

x－6－3－2－11236

y－1－2－3－66321

x－6－3－2－11236

y1266－6－3－2－1

觀察這兩個圖象，試著求出它們的解析式，看看它們之間是否存在著某些關(guān)系？

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)

【類型一】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定字母的取值范圍

在反比例函數(shù)y＝1－kx的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，則k的值可以是（）

A.－1B.0C.1D.2

解析：反比例函數(shù)y＝1－kx的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而增大，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，該圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，所以該函數(shù)的比例系數(shù)1－k＜0，解得k>1.故只有D項符合題意.故選D.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性，都是由比例系數(shù)k的符號決定的；反過來，由雙曲線所在位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號.

【類型二】比較函數(shù)值的大小

在反比例函數(shù)y＝－1x的圖象上有三點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，則下列各式正確的是（）

A.y3＞y1＞y2B.y3＞y2＞y1

C.y1＞y2＞y3D.y1＞y3＞y2

解析：本題方法較多，一是根據(jù)x1，x2，x3的大小即可比較；二是畫出草圖，根據(jù)反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)比較；三是利用特殊值法.

（方法一）比較法：由題意，得y1＝－1x1，y2＝－1x2，y3＝－1x3，因為x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.

（方法二）圖象法：

如圖，在直角坐標(biāo)系中作出y＝－1x的草圖，描出符合條件的三個點，觀察圖象直接得到y(tǒng)3＞y1＞y2.

（方法三）特殊值法：設(shè)x1＝2，x2＝1，x3＝－1，則y1＝－12，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故選A.方法總結(jié)：此題的三種解法中，圖象法形象直觀，具有一般性；特殊值法最簡單，這種方法對于解答許多選擇題都很有效，要注意學(xué)會使用.

探究點二：反比例函數(shù)圖象中比例系數(shù)k的幾何意義

如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過點B（x0，y0），則k的值為.

解析：∵四邊形OABC是邊長為1的正方形，∴它的面積為1，且BA⊥y軸.又∵點B（x0，y0）是反比例函數(shù)y＝kx圖象上的一點，則有S正方形OABC＝|x0y0|＝|k|，即1＝|k|.∴k＝±1.又∵點B在第二象限，∴k＝－1.

方法總結(jié)：利用正方形或矩形或三角形的面積確定|k|的值之后，要注意根據(jù)函數(shù)圖象所在位置或函數(shù)的增減性確定k的符號.

三、板書設(shè)計

反比例函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)k＞0時，在每一象限內(nèi)，y的值隨x的值的增大而減小當(dāng)k＜0時，在每一象限內(nèi)，y的值隨x的值的增大而增大反比例函數(shù)圖象中比例系數(shù)k的幾何意義

通過對反比例函數(shù)圖象的全面觀察和比較，發(fā)現(xiàn)函數(shù)自身的規(guī)律，概括反比例函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，進行語言表述，訓(xùn)練學(xué)生的概括、總結(jié)能力，在相互交流中發(fā)展從圖象中獲取信息的能力.讓學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，增強他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心與求知欲.

【反思】

圖像的變化趨勢有什么影響？從這些方面去比較理解反比例函數(shù)與一次函數(shù)，幫助學(xué)生將所學(xué)知識串聯(lián)起來，提高學(xué)生綜合能力。運用多媒比較兩函數(shù)圖像，使學(xué)生更直觀、更清楚地看清兩函數(shù)的區(qū)別。從而使學(xué)生加深對兩函數(shù)性質(zhì)的理解。

體會：

通過本案例的教學(xué)，使我深刻地體會到了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的靈活性、直觀性。雖然制作起來比較麻煩，但能使課堂教學(xué)達到預(yù)想不到的效果，使課堂教學(xué)效率也明顯提高。