八年級數(shù)學(xué)上冊14.2勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計華東師大版反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《八年級數(shù)學(xué)上冊14.2勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計華東師大版反思》

《八年級數(shù)學(xué)上冊14.2勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計華東師大版反思》這是一篇八年級上冊數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課是人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章第一節(jié)第二課時的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理，加深對勾股定理的理解，提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用與理解。

八年級數(shù)學(xué)上冊14.2勾股定理的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計華東師大版

14.2勾股定理的應(yīng)用（2）

教學(xué)目標(biāo)：

1.會用勾股定理解決較綜合的問題.

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想.

教學(xué)重點

勾股定理的綜合應(yīng)用.

教學(xué)難點

勾股定理的綜合應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、課前預(yù)習(xí)

1.等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則該等腰三角形面積為_______．

解：設(shè)底邊長為2x，則腰長為16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，

∴S=×2x×8=48．

2.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：

（1）使三角形的三邊長分別為3.、（在圖甲中畫一個即可）；

（2）使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個即可）．

二、合作探究

問題探究1：邊長為無理數(shù)

例1：如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：

（1）畫出所有從點A出發(fā)，另一端點在格點（即小正方形的頂點）上，且長度為的線段；

（2）畫出所有的以（1）中所畫線段為腰的等腰三角形.

教師分析只需利用勾股定理看哪一個矩形的對角線滿足要求．

解：（1）如下圖中，AB.AC.AE.AD的長度均為．

（2）如下圖中△ABC.△ABE.△ABD.△ACE.△ACD.△AED就是所要畫的等腰三角形．

問題探究2：不規(guī)則圖形面積的求法

例2：如圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求圖中陰影部分的面積．

解：在Rt△ADC中，

AC＝AD＋CD＝6＋8＝100（勾股定理），

∴AC＝10m.

∵AC＋BC＝10＋24＝676＝AB，

∴△ACB為直角三角形（如果三角形的三邊長A.B.c有關(guān)系：a＋b＝c，那么這個三角形是直角三角形），

∴S陰影部分＝S△ACB－S△ACD

＝×10×24－×6×8＝96（m）．

三、課堂鞏固

（1）四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會于2002年8月20日在北京召開．大會會標(biāo)如圖甲，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積；

（2）現(xiàn)有一張長為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形．

解：（1）設(shè)較長直角邊為b，較短直角邊為a，則小正方形的邊長為：a-b．

而斜邊即為大正方形邊長，且其平方為13，即a2+b2=13①，

由a+b=5，兩邊平方，得a2+b2+2ab=25．

將①代入，得2ab=12．

所以（b-a）2=b2+a2-2ab=13-12=1．

即小正方形面積為1；

（2）由（2）題中矩形面積為6.5×2=13與（1）題正方形面積相等，仿照甲圖可得，算出其中a=2，b=3，如圖．

四、課堂小結(jié)

1.我們學(xué)習(xí)了什么？

2.還有什么疑惑嗎？

五、課后作業(yè)

習(xí)題

14.2勾股定理的應(yīng)用（1）

教學(xué)目標(biāo)

1．知識目標(biāo)

(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知兩邊求第三邊”；而勾股逆定理的作用是由“三角形邊的關(guān)系得出三角形是直角三角形”.

(2)掌握勾股定理及其逆定理，運用勾股定理進行簡單的長度計算.

2．過程性目標(biāo)

(1)讓學(xué)生親自經(jīng)歷卷折圓柱.

(2)讓學(xué)生在親自經(jīng)歷卷折圓柱中認(rèn)識到圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形（矩形）.

(3)讓學(xué)生通過觀察、實驗、歸納等手段，培養(yǎng)其將“實際問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用勾股定理解直角三角形的數(shù)學(xué)問題”的能力.

教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：勾股定理的應(yīng)用.

教學(xué)難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為“應(yīng)用勾股定理及其逆定理解直角三角形的數(shù)學(xué)問題”.

原因分析：

1.例1中學(xué)生因為其空間想象能力有限，很難想到螞蟻爬行的路徑是什么，為此通過制作圓柱模型解決難題.

2.例2中學(xué)生難找到要計算的具體線段.通過多媒體演示來啟發(fā)學(xué)生的思維.

教學(xué)突破點：突出重點的教學(xué)策略：

通過回憶復(fù)習(xí)、例題、小結(jié)等，突出重點“勾股定理及其逆定理的應(yīng)用”，

教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計意圖

復(fù)

習(xí)

部

分

復(fù)習(xí)練習(xí)，引出課題

例1：在Rt△ABC中，兩條直角邊分別為3，4，求斜邊c的值？

【答案】c=5.

例2：在Rt△ABC中，一直角邊分別為5，斜邊為13，求另一直角邊的長是多少？

【答案】另一直角邊的長是12.通過簡單計算題的練習(xí)，幫助學(xué)生回顧勾股定理，加深定理的記憶理解，為新課作好準(zhǔn)備

小結(jié)：在上面兩個小題中，我們應(yīng)用了勾股定理：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則c2=a2+b2.加深定理的記憶理解，突出定理的作用.

新

課

講

解

勾股定理能解決直角三角形的許多問題，因此在現(xiàn)實生活和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．

例3：如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．

【解析】螞蟻實際上是在圓柱的半個側(cè)面內(nèi)爬行．大家用一張白紙卷折圓柱成圓柱形狀，標(biāo)出A.B.C.D各點，然后打開，螞蟻在圓柱上爬行的距離，與在平面紙上的距離一樣．AC之間的最短距離是什么？根據(jù)是什么？（學(xué)生回答）

根據(jù)“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形ABCD對角線AC之長．我們可以利用勾股定理計算出AC的長.

解：如圖，在Rt△ABC中，BC＝底面周長的一半＝10cm，

∴AC＝＝

＝≈10.77（cm）（勾股定理）．

答：最短路程約為10.77cm．

例4：一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?

【解析】由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH．如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥AB，與地面交于H．

解：在Rt△OCD中，由勾股定理得

CD＝＝＝0.6米，

CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門．

通過動手作模型，培養(yǎng)學(xué)生的動手、動腦能力，解決“學(xué)生空間想像能力有限，想不到螞蟻爬行的路徑”的難題，從而突破難點.

由學(xué)生回答“AC之間的最短距離及根據(jù)”，有利于幫助學(xué)生找準(zhǔn)新舊知識的連接點，喚起與形成新知識相關(guān)的舊知識，從而使學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知識的學(xué)習(xí)具有某種“召喚力”

再次提問，突出勾股定理的作用，加深記憶.

利用多媒體設(shè)備演示卡車通過廠門正中間時的過程（在幾何畫板上畫出廠門的形狀，用移動的矩形表示卡車，矩形的高低可調(diào)），讓學(xué)生通過觀察，找到需要計算的線段CH、CD及CD所在的直角三角形OCD，將實際問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用勾股定理解直角三角形的數(shù)學(xué)問題.

小

結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了應(yīng)用勾股定理來解決實際問題.在實際當(dāng)中，長度計算是一個基本問題，而長度計算中應(yīng)用最多、最基本的就是解直角三角形，利用勾股定理已知兩邊求第三邊，我們要掌握好這一有力工具.

課堂練習(xí)練習(xí)

1.如圖，從電桿離地面5米處向地面拉一條7米長的鋼纜，求地面鋼纜固定點A到電桿底部B的距離．

【答案】

2.現(xiàn)準(zhǔn)備將一塊形為直角三角形的綠地擴大，使其仍為直角三角形，兩直角邊同時擴大到原來的兩倍，問斜邊擴大到原來的多少倍?

【答案】2

（四）作業(yè)：習(xí)題

（五）策略分析

為防止以上錯誤的出現(xiàn)，除了講清楚定理，還應(yīng)該強調(diào)：

1.定理中基本公式中的項都是平方項；

2.計算直角邊時需要將基本公式移項變形，按平方差計算.

3.最后求邊長時，需要進行開平方運算.

【反思】

本節(jié)課是人教版數(shù)學(xué)八年級下冊第十七章第一節(jié)第二課時的內(nèi)容，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)知識，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理，加深對勾股定理的理解，提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用與理解。本節(jié)第一課時安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的過程；第二課時是通過例題分析與講解，讓學(xué)生感受勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，通過從實際問題中抽象出直角三角形這一模型，強化轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識和應(yīng)用能力。

針對本班學(xué)生的特點，學(xué)生知識水平、學(xué)習(xí)能力的差距，本節(jié)課安排了如下幾個環(huán)節(jié)：

一、復(fù)習(xí)引入

對上節(jié)課勾股定理內(nèi)容進行回顧，強調(diào)易錯點。由于學(xué)生的注意力集中時間較短，學(xué)生知識水平低，引入內(nèi)容簡短明了，花費時間短。

二、例題講解，鞏固練習(xí)，總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法

活動一：用對媒體展示搬運工搬木板的問題，讓學(xué)生以小組交流合作，如何將木板運進門內(nèi)？需要知道們的寬、高，還是其他的條件？學(xué)生展示交流結(jié)果，之后教師引導(dǎo)學(xué)生書寫板書。整個活動以學(xué)生為主體，教師及時的引導(dǎo)和強調(diào)。

活動二：解決例二梯子滑落的問題。學(xué)生自主討論解決問題，書寫過程，之后投影學(xué)生書寫過程，教師與學(xué)生一起合作修改解題過程。

活動三：學(xué)生討論總結(jié)如何將實際生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用勾股定理解決問題。利用勾股定理的前提是什么？如何作輔助線構(gòu)造這一前提條件？在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展了學(xué)生的探究意識和合作交流的習(xí)慣；體會勾股定理的應(yīng)用價值，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用到生活中去，在學(xué)習(xí)的過程中體會獲得成功的喜悅，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

二、鞏固練習(xí)，熟練新知

通過測量旗桿活動，發(fā)展學(xué)生的探究意識，培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力，增加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的經(jīng)驗和感受。

在教學(xué)設(shè)計的實施中，也存在著一些問題：

1.由于本班學(xué)生能力的差距，本想著通過學(xué)生幫帶活動，使學(xué)困生充分參與課堂，但在學(xué)生合作交流是由于學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生，對問題的分析解決所用時間短，而在整個環(huán)節(jié)設(shè)計中轉(zhuǎn)接的快，未給學(xué)困生充分的時間，導(dǎo)致部分學(xué)生未能真正的參與到課堂中來。

2.課堂上質(zhì)疑追問要起到好處，不要增加學(xué)生展示的難度，影響展示進程出現(xiàn)中斷或偏離主題的現(xiàn)象。

3.對學(xué)生課堂展示的評價方式應(yīng)體現(xiàn)生評生，師評生，及評價的針對性和及時性。

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八年級數(shù)學(xué)上冊《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計教案反思

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八年級數(shù)學(xué)上冊《勾股定理的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

能運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.

【學(xué)習(xí)重點】

勾股定理及直角三角形的判別條件的運用.

【學(xué)習(xí)重點】

直角三角形模型的建立.

【學(xué)習(xí)過程】

一.課前復(fù)習(xí)

勾股定理及勾股定理逆定理的區(qū)別

二.新課學(xué)習(xí)

探究點一：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路徑問題

1.3如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

思考：

1.利用學(xué)具，嘗試從A點到B點沿圓柱側(cè)面畫出幾條線路，你認(rèn)為

這樣的線路有幾條？可分為幾類？

2.將右圖的圓柱側(cè)面剪開展開成一個長方形，B點在什么位置？從

A點到B點的最短路線是什么?你是如何畫的?

1.33.螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。

4.你是如何將這個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的？

小結(jié)：

你是如何解決圓柱體側(cè)面上兩點之間的最短距離問題的？

探究點二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？

1.31.31.3李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，

但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）

（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

1.31.3（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，

BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？

（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

小結(jié)：通過本道例題的探索，判斷兩線垂直，你學(xué)會了什么方法？

探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應(yīng)用

例圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.

1.3

思考：

1.求滑道AC的長的問題可以轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)問題？

2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。

小結(jié)：

方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應(yīng)的直角三角形三邊的關(guān)系正是構(gòu)建方程的基礎(chǔ)．

四．課堂小結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了什么？

三．新知應(yīng)用

1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

1.3

2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

1.3

五．作業(yè)布置：習(xí)題1.41，3，4題

【反思】

一、教師我的體會：

勾股定理的應(yīng)用教學(xué)反思范文

①、我根據(jù)學(xué)生實際情況認(rèn)真?zhèn)湔n這節(jié)課，書本總共兩個例題，且兩個例題都很難，如果一節(jié)課就講這兩題難題，那一方面學(xué)生的學(xué)習(xí)效率會比較低，另一方面會使學(xué)生畏難情緒增加。所以，我簡化教材，使教材易于操作，讓學(xué)生易于學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識、接受新知識，降低學(xué)習(xí)難度。

把教材讀薄，

②、除了備教材外，還備學(xué)生。從教案及授課過程也可以看出，充分考慮到了學(xué)生的年齡特點：對新事物有好奇心，但對新知識的鉆研熱情又不夠高，這樣，造成教學(xué)難度較大，為了改變這一狀況，在處理教材時，把某些數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換成通俗文字來表達，把難度大的運用能力降低為難度稍細的理解能力，讓學(xué)生樂于面對奧妙而又有一定深度的數(shù)學(xué)，樂于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

③、新課選用的例子、練習(xí)，都是經(jīng)過精心挑選的，運用性強，貼近生活，與生活實際緊密聯(lián)系，既達到學(xué)習(xí)、鞏固新知識的目的，同時，又充分展現(xiàn)出數(shù)學(xué)教學(xué)的重大特征：數(shù)學(xué)源于生活實際，又服務(wù)于生活實際。勾股定理源于生活，但同時它又能極大的為生活服務(wù)。

④、使用多媒體進行教學(xué)，使知識顯得形象直觀，充分發(fā)揮現(xiàn)代技術(shù)作用。

二、學(xué)生體會：

課前，我們也去查閱了一些資料，關(guān)于勾股定理的證明以及有關(guān)的一些應(yīng)用，通過這節(jié)課，真真發(fā)現(xiàn)勾股定理真真來源于生活，我們的幾何圖形和幾何計算對于勾股定理來說非常廣泛，而且以后更要用好它。對于勾股定理都應(yīng)用時，我覺得關(guān)鍵是找到相關(guān)的三角形，并且分清直角邊或斜邊，靈活機智地進行計算和一些推理。另外與同學(xué)間在數(shù)學(xué)課上有自主學(xué)習(xí)的機會，有相互之間的討論、爭辯等協(xié)作的機會，在合作學(xué)習(xí)的過程中共同提高我覺得都是難得的機會。鍛煉了能力，提高了思維品質(zhì)，并且勾股定理的應(yīng)用中我覺得圖形很美，古代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)有了很好的研究并作出了很大的'貢獻，現(xiàn)代的藝術(shù)家們也在各方面用到很多，同時在課堂中漸漸地培養(yǎng)了我們的數(shù)學(xué)興趣和一定的思維能力。

不過課堂上老師在最后一題的畫圖中能放一放，讓我們有時間去思考怎么畫，那會更好些，自然思維也得到了發(fā)展。課上老師鼓勵我們嘗試不完善的甚至錯誤的意見，大膽發(fā)表自己的見解，體現(xiàn)了我們是學(xué)習(xí)的主人。數(shù)學(xué)課堂里充滿了智慧。

北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊1.3勾股定理的應(yīng)用1優(yōu)秀教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊1.3勾股定理的應(yīng)用1優(yōu)秀教案反思》

《北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊1.3勾股定理的應(yīng)用1優(yōu)秀教案反思》這是一篇八年級上冊數(shù)學(xué)教案，本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三直角三角形的性質(zhì)、直角三角形勾股定理逆定理的基礎(chǔ)上開展的，更進一步加深學(xué)生勾股定理的理解，提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用與理解。

1．3勾股定理的應(yīng)用

1．能熟練運用勾股定理求最短距離；(難點)

2．能運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題．(重點)

一、情境導(dǎo)入

一個門框的寬為1.5m，高為2m，如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

二、合作探究

探究點一：求幾何體表面上兩點之間的最短距離

【類型一】長方體上的最短線段

如圖①，長方體的高為3cm，底面是正方形，邊長為2cm，現(xiàn)有繩子從D出發(fā)，沿長方體表面到達B′點，問繩子最短是多少厘米？

解析：可把繩子經(jīng)過的面展開在同一平面內(nèi)，有兩種情況，分別計算并比較，得到的最短距離即為所求．

解：如圖②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；

如圖③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.

因為29>25，所以第一種情況繩子最短，最短為5cm.

方法總結(jié)：此類題可通過側(cè)面展開圖，將要求解的問題放在直角三角形中，問題便迎刃而解．

【類型二】圓柱上的最短線段

為籌備迎接新生晚會，同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖①.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長的油紙？

解析：將圓筒側(cè)面展開成平面圖形，利用平面上兩點之間線段最短求解，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決．

解：如圖②，在Rt△ABC中，因為AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整個油紙的長為45×4＝180(cm)．

方法總結(jié)：解決這類問題的關(guān)鍵就是轉(zhuǎn)化，即把曲面轉(zhuǎn)化為平面，曲線轉(zhuǎn)化成直線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出未知線段長．

探究點二：利用勾股定理解決實際問題

如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了400m到達點B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到達目的地C.求A、C兩點之間的距離．

解析：把實際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．

解：如圖，過點B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C兩點間的距離為500m.

方法總結(jié)：此類問題解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；在數(shù)學(xué)模型(直角三角形)中，應(yīng)用勾股定理或勾股定理的逆定理解題．

三、板書設(shè)計

通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念．在將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想．在利用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力．

【反思】

本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了三直角三角形的性質(zhì)、直角三角形勾股定理逆定理的基礎(chǔ)上開展的，更進一步加深學(xué)生勾股定理的理解，提高學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用與理解。本節(jié)課首先安排了對圓柱形中的最短距離的觀察猜想，由學(xué)生討論如何實現(xiàn)圓柱中的最短距離，要把立體圖形展開成為平面圖形，平面圖形中，有結(jié)論：兩點之間，線段最短。在進一步由學(xué)生質(zhì)疑，一定這樣的方法得到的是最短距離嗎？有沒有其他的路徑，進而討論圓柱中的特殊情況，當(dāng)圓柱是扁平的圓柱時，得到的最短距離還是把圓柱側(cè)面展開構(gòu)造的長方形的斜邊長嗎？最后由教師補充總結(jié)，當(dāng)圓柱時細長的圓柱時，最短距離是把圓柱側(cè)面展開構(gòu)造的長方形的斜邊長；當(dāng)圓柱時扁平的圓柱時，最短距離是圓柱的高加圓柱的底面直徑，至于這個圓柱到底是細長的還是扁平的，要具體問題具體分析。

當(dāng)學(xué)生具備這樣的理論基礎(chǔ)，在圓柱的基礎(chǔ)上討論長方體的最短距離時，就事半功倍了，用類比思想，得到長方體中的最短距離，因為展開方式不同，所以分類討論，最短距離分三種情況：1.最短距離2=（長+寬）2+高2；

2.最短距離2=（長+高）2+寬2；

3.最短距離2=（寬+高）2+長2，從三種情況中找到最小的就是最短距離；進而總結(jié)利用勾股定理求最短距離的步驟：

1.將立體圖形展開；展開時注意：只需要展開包含相關(guān)點的面，可能會存在多種展開方式

2.確定相關(guān)點的位置；

3.連接相關(guān)點，構(gòu)造直角三角形；

4.利用勾股定理求解。

通過總結(jié)如何將立體圖形中的最短路線轉(zhuǎn)換成平面圖形中的最短路線，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用的生活，在學(xué)習(xí)的過程中體會獲得成功的喜悅，提高獲得提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，但課堂上質(zhì)疑追問要恰到好處，不要增加學(xué)生展示的難度，影響展示進程出現(xiàn)中斷或偏離主題的現(xiàn)象。

北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊3.7切線長定理1教學(xué)設(shè)計反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊3.7切線長定理1教學(xué)設(shè)計反思》

《北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊3.7切線長定理1教學(xué)設(shè)計反思》這是一篇九年級下冊數(shù)學(xué)教案，在教學(xué)過程中，通過安排實踐操作活動，使學(xué)生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學(xué)生操作并思考回答問題，教師在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上進一步引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生體會從具體情景和實踐操作中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．通過設(shè)計問題情境，使學(xué)生提高解決問題的意識，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認(rèn)識，進而不斷地比較，讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴(yán)格、精確，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)發(fā)展的過程.

*3.7切線長定理

1．理解切線長的定義；(重點)

2．掌握切線長定理并能運用切線長定理解決問題．(難點)

一、情境導(dǎo)入

如圖①，PA為⊙O的一條切線，點A為切點．如圖②所示，沿著直線PO將紙對折，由于直線PO經(jīng)過圓心O，所以PO是圓的一條對稱軸，兩半圓重合．設(shè)與點A重合的點為點B，這里，OB是⊙O的一條半徑，PB是⊙O的一條切線．圖中PA與PB、∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？

二、合作探究

探究點：切線長定理

【類型一】利用切線長定理求線段的長

如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點分別是點A和點B，如果∠APB＝60°，線段PA＝10，那么弦AB的長是()

A．10

B．12

C．53

D．103

解析：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB＝PA＝10.故選A.

方法總結(jié)：切線長定理是在圓中判斷線段相等的主要依據(jù)，經(jīng)常用到．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型二】利用切線長定理求角的度數(shù)

如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，點C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度數(shù)是________度．

解析：如圖所示，連接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易證△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案為20.

方法總結(jié)：由公共點引出的兩條切線，可以運用切線長定理得到等腰三角形．另外根據(jù)全等的判定，可得到PO平分∠APB.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第3題

【類型三】利用切線長定理求三角形的周長

如圖，PA、PB、DE是⊙O的切線，切點分別為A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半徑為5cm，求△PDE的周長．

解析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OA⊥PA.根據(jù)勾股定理，得PA＝12，再根據(jù)切線長定理即可求得△PDE的周長．

解：連接OA，則OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根據(jù)勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切線，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周長PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.

方法總結(jié)：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

【類型四】利用切線長定理解決圓外切四邊形的問題

如圖，四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點E、F、G、H，判斷AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解析：直接利用切線長定理解答即可．

解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.

方法總結(jié)：由切線長定理可以得到一些相等的線段，一定要明確這些相等線段．記住“圓外切四邊形的對邊之和相等”，對我們以后解決問題有很大幫助．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型五】切線長定理與三角形內(nèi)切圓的綜合

如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F.

(1)求證：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半徑．

解析：(1)利用切線長定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，進而得出BD＝CF，即可得出答案；

(2)首先連接OD、OE、OF，進而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．

(1)證明：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；

(2)解：連接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四邊形ODAF是正方形．設(shè)OD＝AD＝AF＝r，則BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝22.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半徑是2－2.

方法總結(jié)：本題綜合考查了正方形的判定以及切線長定理和勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是得出四邊形ODAF是正方形．

【類型六】利用切線長定理解決存在性問題

如圖①，已知正方形ABCD的邊長為23，點M是AD的中點，P是線段MD上的一動點(P不與M，D重合)，以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交BC于點F，切點為E.

(1)除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段(不能添加字母和輔助線)?

(2)求四邊形CDPF的周長；

(3)延長CD，F(xiàn)P相交于點G，如圖②所示．是否存在點P，使BF?FG＝CF?OF？如果存在，試求此時AP的長；如果不存在，請說明理由．

解析：(1)根據(jù)切線長定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根據(jù)切線長定理，發(fā)現(xiàn)該四邊形的周長等于正方形的三邊之和；(3)若要滿足結(jié)論，則∠BFO＝∠GFC，根據(jù)切線長定理得∠BFO＝∠EFO，從而得到這三個角應(yīng)是60°，然后結(jié)合已知的正方形的邊長，也是圓的直徑，利用30°的直角三角形的知識進行計算．

解：(1)FB＝FE，PE＝PA；

(2)四邊形CDPF的周長為FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；

(3)假設(shè)存在點P，使BF?FG＝CF?OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF?tan∠GFC＝CF?tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG?tan∠PGD＝DG?tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.

方法總結(jié)：由于存在性問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設(shè)存在性以后進行的推理或計算．一般思路是：假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論．若能導(dǎo)出合理的結(jié)果，就做出“存在”的判斷，若導(dǎo)出矛盾，就做出“不存在”的判斷．

三、板書設(shè)計

切線長定理

1．切線長的概念

2．切線長定理

3．切線長定理的應(yīng)用

在教學(xué)過程中，通過安排實踐操作活動，使學(xué)生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學(xué)生操作并思考回答問題，教師在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上進一步引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生體會從具體情景和實踐操作中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．通過設(shè)計問題情境，使學(xué)生提高解決問題的意識，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認(rèn)識，進而不斷地比較，讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴(yán)格、精確，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)發(fā)展的過程.

人教版六年級數(shù)學(xué)上冊《確定起跑線》教學(xué)設(shè)計反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《人教版六年級數(shù)學(xué)上冊《確定起跑線》教學(xué)設(shè)計反思》

《人教版六年級數(shù)學(xué)上冊《確定起跑線》教學(xué)設(shè)計反思》這是一篇六年級上冊數(shù)學(xué)教案，通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生了解田徑跑道的結(jié)構(gòu)，學(xué)會確定跑道起跑線的方法。

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生了解田徑跑道的結(jié)構(gòu)，學(xué)會確定跑道起跑線的方法。結(jié)合具體的實際問題，通過觀察、比較、分析、歸納等數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過獨立思考與合作交流等活動提高解決實際問題的能力。在主動參與數(shù)學(xué)活動的過程中,讓學(xué)生切實體會到探索的樂趣，感受到數(shù)學(xué)知識在生活中的廣泛應(yīng)用。

2.結(jié)合具體的實際問題，通過觀察、比較、分析、歸納等數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生通過獨立思考與合作交流等活動提高解決實際問題的能力。

3.讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的有用性。

教學(xué)重難點：

重點：

通過對跑道周長的計算，了解田徑場跑道的結(jié)構(gòu)，能根據(jù)所學(xué)

知識解決確定起跑線的問題。

難點：

綜合運用圓的知識解答生活中遇到的實際問題，探究起跑線位

置的設(shè)置與什么有關(guān)。

教學(xué)過程：

【情景導(dǎo)入】

（1）播放2009年世界田徑錦標(biāo)賽男子100米決賽場面，博爾特以9秒58創(chuàng)新世界紀(jì)錄。

師：100米賽為什么那么吸引人？讓那么多人為這9秒58而歡呼不停？（因為公平，才吸引人。與學(xué)生聊一聊比賽中公平的話題。）

（2）播放2009年世界田徑錦標(biāo)賽男子400米決賽場面。

師：看了兩個比賽，你們有什么發(fā)現(xiàn)，又有什么想法？（組織學(xué)生交流）

（100米跑運動員站在同一條起跑線上，而400米跑運動員為什么要站在不同的起跑線上？400米跑的起跑線位置是怎樣安排的？外面跑道的運動員站在最前，這樣公平嗎？）

今天，我們就帶著這些問題走進運動場，用我們學(xué)過的知識來研究、解決這些問題，了解比賽的時候各跑道的起跑線是如何確定的。

【新知探究】

（一）觀察思考，找出問題關(guān)鍵。

（課件出示完整跑道圖）

觀察跑道圖，每條跑道一圈的長度相等嗎？差別在哪里昵？比賽的時候，是怎樣解決這個問題的？怎樣才能做到公平比賽？

（二）分析比較，確定解決問題思路。

1.小組交流：觀察跑道圖，說一說，每一條跑道具體是由哪幾部分組成的？內(nèi)外跑道的差異是怎樣形成的？

學(xué)生充分交流得出結(jié)論：

（1）跑道一圈長度＝2條直道長度＋一個圓的周長

（2）內(nèi)外跑道的長度不一樣是因為圓的周長不一樣。

2.小組討論：怎樣找出相鄰兩個跑道的差距？

（1）分別把每條跑道的長度算出來，也就是計算2個直道長度與一個圓周長的總和，再相減，就可以知道相鄰兩條跑道的差距。

（2）因為跑道的長度與直道無關(guān)，只要計算出各圓的周長，再算出相鄰兩圓的周長相差多少米，就是相鄰跑道的差距。

（三）計算驗證，解決問題。

計算圓的周長要知道什么？

直徑

第一道的直徑為72.6米，第二道是多少？第三道呢？

（讓學(xué)生選擇自己喜歡的方法進行計算）

方法一：計算完成下表。

《確定起跑線》教學(xué)設(shè)計

方法二：

75.1×3.14－72.6×3.14＝7.85（m）

77.6×3.14－75.1×3.14＝7.85（m）

……

（引導(dǎo)學(xué)生將3.14159換成π進行計算）

剛才大家通過計算已經(jīng)知道了400米跑相鄰兩個跑道長度大約相差7.85米，也就是相鄰跑道的起跑線應(yīng)該相差7.85米。哪一種方法更快更簡便呢？

第二種方法更簡便。

如果我們在計算圓的周長時直接用π來表示，看你有什么發(fā)現(xiàn)？

（72.6＋1.25×2）π－72.6π

＝72.6π－72.6π＋1.25×2×π

＝1.25×2×π

（75.1＋1.25×2）π－75.1π

＝75.1π－75.1π＋1.25×2×π

＝1.25×2×π

……

（相鄰跑道起跑線相差都是“跑道寬×2×π”）

師：從這里可以看出：起跑線的確定與什么關(guān)系最為密切？

生：與跑道的寬度關(guān)系最為密切。

師（小結(jié)）：同學(xué)們經(jīng)過努力終于找到了確定起跑線的秘密！對了，其實只要知道了跑道的寬度，就能確定起跑線的位置。

（四）鞏固應(yīng)用，形成技能。

1.小學(xué)生運動會的跑道寬比成人比賽的跑道寬要窄些，要開小學(xué)生運動會，你能幫裁判計算出相鄰兩條跑道的起跑線又該相差多少米嗎？400米的跑步比賽，跑道寬為1米，起跑線該依次提前多少米？如果跑道寬是1.２米呢？

2.在運動場上還有200米的比賽，跑道寬為1.25米，起跑線又該依次提前多少米？

【知識梳理】

本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么知識？

【隨堂練習(xí)】

請你設(shè)計一個200米的跑道。

【反思】

1、教材分析

小學(xué)六年級數(shù)學(xué)上冊《確定起跑線》的教學(xué)反思

《確定起跑線》是六年級數(shù)學(xué)上冊的一節(jié)綜合應(yīng)用課，這節(jié)課是在學(xué)生掌握了圓的概念和周長等知識的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。主要讓學(xué)生經(jīng)歷運用圓的有關(guān)知識計算彎道長度的過程，了解“跑道的彎道部分，外圈比內(nèi)圈要長”，從而體會確定起跑線的意義；理解相鄰跑道的長度差與圓的周長以及起跑線位置之間的關(guān)系；掌握確定起跑線的方法，并學(xué)會確定起跑線。在觀察、比較、歸納、探究的數(shù)學(xué)活動中，培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，分析問題和解決問題，并在民主的氣氛中探索出規(guī)律。通過創(chuàng)設(shè)情境，體驗數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)知識在實際生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生主動參與、解決的問題的意識。

2、教學(xué)設(shè)計

這節(jié)課，教材上沒有直接就研究比賽中起跑線的問題，而是采用的一個比較簡單的生活情景進行學(xué)習(xí)。針對起跑線的'不同正是由于比賽中的彎道的不同所造成的，所以采用了“100米比賽各運動員的起跑位置在同一條直線上”到“400米的比賽，運動員也在同一條直線上起跑，公平嗎？”這樣一個簡單的問題來引起學(xué)生的思考，從而來簡化問題的難度“只要將起跑線往前移”即可，那么“移多少呢？”。在講例題時引導(dǎo)學(xué)生說出由于“半圓的半徑不同，因此所走的路程也不同”。這為分析400米標(biāo)準(zhǔn)跑道確定起跑線的方法奠定了基礎(chǔ)，在講400米標(biāo)準(zhǔn)跑道確定起跑線的方法時，我先向?qū)W生課件展示——400米標(biāo)準(zhǔn)跑道的組成，提出問題：相鄰兩道之間的距離差由什么決定？通過課件演示讓學(xué)生知道計算相鄰跑道的長度之差與直道沒關(guān)系，實質(zhì)是計算由兩個彎道合在一起的圓的周長之差。如果用R表示外圈大圓的半徑，用r表示內(nèi)圈圓的半徑，那么相鄰跑道的長度之差=2πR-2πr=2π(R-r)。而R-r實際上就是道寬，所以說如果題目中道寬直接告訴，則相鄰跑道的長度之差=2π×道寬。如果是半圓形跑道，則相鄰跑道的長度之差=π(R-r)或π×道寬。讓學(xué)生知道要確定起跑線的位置，只需知道內(nèi)外圓半徑或道寬即可，實現(xiàn)了教學(xué)重點的突破。

3、反思

在鞏固練習(xí)過程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在確定環(huán)形跑道起跑線的位置時，運用“外圈跑道的總長度-內(nèi)圈跑道的總長度”來計算的。這樣計算比較麻煩。

這也是由于我在課堂上雖然歸納了算法，但是沒有把兩種方法進行對比，學(xué)生還沒有明確各種算法的優(yōu)與劣，這也是我在以后的教學(xué)中該努力的地方。