北師大版數(shù)學八年級上冊1.3勾股定理的應用1優(yōu)秀教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學八年級上冊1.3勾股定理的應用1優(yōu)秀教案反思》

《北師大版數(shù)學八年級上冊1.3勾股定理的應用1優(yōu)秀教案反思》這是一篇八年級上冊數(shù)學教案，本節(jié)課是學生在學習了三直角三角形的性質(zhì)、直角三角形勾股定理逆定理的基礎上開展的，更進一步加深學生勾股定理的理解，提高學生對數(shù)形結合的應用與理解。

1．3勾股定理的應用

1．能熟練運用勾股定理求最短距離；(難點)

2．能運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題．(重點)

一、情境導入

一個門框的寬為1.5m，高為2m，如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

二、合作探究

探究點一：求幾何體表面上兩點之間的最短距離

【類型一】長方體上的最短線段

如圖①，長方體的高為3cm，底面是正方形，邊長為2cm，現(xiàn)有繩子從D出發(fā)，沿長方體表面到達B′點，問繩子最短是多少厘米？

解析：可把繩子經(jīng)過的面展開在同一平面內(nèi)，有兩種情況，分別計算并比較，得到的最短距離即為所求．

解：如圖②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；

如圖③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.

因為29>25，所以第一種情況繩子最短，最短為5cm.

方法總結：此類題可通過側面展開圖，將要求解的問題放在直角三角形中，問題便迎刃而解．

【類型二】圓柱上的最短線段

為籌備迎接新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖①.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應裁剪多長的油紙？

解析：將圓筒側面展開成平面圖形，利用平面上兩點之間線段最短求解，構造直角三角形，利用勾股定理來解決．

解：如圖②，在Rt△ABC中，因為AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整個油紙的長為45×4＝180(cm)．

方法總結：解決這類問題的關鍵就是轉化，即把曲面轉化為平面，曲線轉化成直線，構造直角三角形，利用勾股定理求出未知線段長．

探究點二：利用勾股定理解決實際問題

如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了400m到達點B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到達目的地C.求A、C兩點之間的距離．

解析：把實際問題中的角度轉化為圖形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．

解：如圖，過點B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C兩點間的距離為500m.

方法總結：此類問題解題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學問題；在數(shù)學模型(直角三角形)中，應用勾股定理或勾股定理的逆定理解題．

三、板書設計

通過觀察圖形，探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念．在將實際問題抽象成數(shù)學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學建模的思想．在利用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學學習的魅力．

【反思】

本節(jié)課是學生在學習了三直角三角形的性質(zhì)、直角三角形勾股定理逆定理的基礎上開展的，更進一步加深學生勾股定理的理解，提高學生對數(shù)形結合的應用與理解。本節(jié)課首先安排了對圓柱形中的最短距離的觀察猜想，由學生討論如何實現(xiàn)圓柱中的最短距離，要把立體圖形展開成為平面圖形，平面圖形中，有結論：兩點之間，線段最短。在進一步由學生質(zhì)疑，一定這樣的方法得到的是最短距離嗎？有沒有其他的路徑，進而討論圓柱中的特殊情況，當圓柱是扁平的圓柱時，得到的最短距離還是把圓柱側面展開構造的長方形的斜邊長嗎？最后由教師補充總結，當圓柱時細長的圓柱時，最短距離是把圓柱側面展開構造的長方形的斜邊長；當圓柱時扁平的圓柱時，最短距離是圓柱的高加圓柱的底面直徑，至于這個圓柱到底是細長的還是扁平的，要具體問題具體分析。

當學生具備這樣的理論基礎，在圓柱的基礎上討論長方體的最短距離時，就事半功倍了，用類比思想，得到長方體中的最短距離，因為展開方式不同，所以分類討論，最短距離分三種情況：1.最短距離2=（長+寬）2+高2；

2.最短距離2=（長+高）2+寬2；

3.最短距離2=（寬+高）2+長2，從三種情況中找到最小的就是最短距離；進而總結利用勾股定理求最短距離的步驟：

1.將立體圖形展開；展開時注意：只需要展開包含相關點的面，可能會存在多種展開方式

2.確定相關點的位置；

3.連接相關點，構造直角三角形；

4.利用勾股定理求解。

通過總結如何將立體圖形中的最短路線轉換成平面圖形中的最短路線，讓學生體會到數(shù)學來源于生活又應用的生活，在學習的過程中體會獲得成功的喜悅，提高獲得提高學生學習數(shù)學的興趣和信心，但課堂上質(zhì)疑追問要恰到好處，不要增加學生展示的難度，影響展示進程出現(xiàn)中斷或偏離主題的現(xiàn)象。

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八年級數(shù)學上冊14.2勾股定理的應用教學設計華東師大版反思

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《八年級數(shù)學上冊14.2勾股定理的應用教學設計華東師大版反思》這是一篇八年級上冊數(shù)學教案，本節(jié)課是人教版數(shù)學八年級下冊第十七章第一節(jié)第二課時的內(nèi)容，是學生在學習了三角形的有關知識，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件的基礎上學習勾股定理，加深對勾股定理的理解，提高學生對數(shù)形結合的應用與理解。

八年級數(shù)學上冊14.2勾股定理的應用教學設計華東師大版

14.2勾股定理的應用（2）

教學目標：

1.會用勾股定理解決較綜合的問題.

2.樹立數(shù)形結合的思想.

教學重點

勾股定理的綜合應用.

教學難點

勾股定理的綜合應用.

教學過程

一、課前預習

1.等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則該等腰三角形面積為_______．

解：設底邊長為2x，則腰長為16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，

∴S=×2x×8=48．

2.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：

（1）使三角形的三邊長分別為3.、（在圖甲中畫一個即可）；

（2）使三角形為鈍角三角形且面積為4（在圖乙中畫一個即可）．

二、合作探究

問題探究1：邊長為無理數(shù)

例1：如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：

（1）畫出所有從點A出發(fā)，另一端點在格點（即小正方形的頂點）上，且長度為的線段；

（2）畫出所有的以（1）中所畫線段為腰的等腰三角形.

教師分析只需利用勾股定理看哪一個矩形的對角線滿足要求．

解：（1）如下圖中，AB.AC.AE.AD的長度均為．

（2）如下圖中△ABC.△ABE.△ABD.△ACE.△ACD.△AED就是所要畫的等腰三角形．

問題探究2：不規(guī)則圖形面積的求法

例2：如圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求圖中陰影部分的面積．

解：在Rt△ADC中，

AC＝AD＋CD＝6＋8＝100（勾股定理），

∴AC＝10m.

∵AC＋BC＝10＋24＝676＝AB，

∴△ACB為直角三角形（如果三角形的三邊長A.B.c有關系：a＋b＝c，那么這個三角形是直角三角形），

∴S陰影部分＝S△ACB－S△ACD

＝×10×24－×6×8＝96（m）．

三、課堂鞏固

（1）四年一度的國際數(shù)學家大會于2002年8月20日在北京召開．大會會標如圖甲，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積；

（2）現(xiàn)有一張長為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形．

解：（1）設較長直角邊為b，較短直角邊為a，則小正方形的邊長為：a-b．

而斜邊即為大正方形邊長，且其平方為13，即a2+b2=13①，

由a+b=5，兩邊平方，得a2+b2+2ab=25．

將①代入，得2ab=12．

所以（b-a）2=b2+a2-2ab=13-12=1．

即小正方形面積為1；

（2）由（2）題中矩形面積為6.5×2=13與（1）題正方形面積相等，仿照甲圖可得，算出其中a=2，b=3，如圖．

四、課堂小結

1.我們學習了什么？

2.還有什么疑惑嗎？

五、課后作業(yè)

習題

14.2勾股定理的應用（1）

教學目標

1．知識目標

(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知兩邊求第三邊”；而勾股逆定理的作用是由“三角形邊的關系得出三角形是直角三角形”.

(2)掌握勾股定理及其逆定理，運用勾股定理進行簡單的長度計算.

2．過程性目標

(1)讓學生親自經(jīng)歷卷折圓柱.

(2)讓學生在親自經(jīng)歷卷折圓柱中認識到圓柱的側面展開圖是一個長方形（矩形）.

(3)讓學生通過觀察、實驗、歸納等手段，培養(yǎng)其將“實際問題轉化為應用勾股定理解直角三角形的數(shù)學問題”的能力.

教學重點、難點

教學重點：勾股定理的應用.

教學難點：將實際問題轉化為“應用勾股定理及其逆定理解直角三角形的數(shù)學問題”.

原因分析：

1.例1中學生因為其空間想象能力有限，很難想到螞蟻爬行的路徑是什么，為此通過制作圓柱模型解決難題.

2.例2中學生難找到要計算的具體線段.通過多媒體演示來啟發(fā)學生的思維.

教學突破點：突出重點的教學策略：

通過回憶復習、例題、小結等，突出重點“勾股定理及其逆定理的應用”，

教學過程

教學過程設計意圖

復

習

部

分

復習練習，引出課題

例1：在Rt△ABC中，兩條直角邊分別為3，4，求斜邊c的值？

【答案】c=5.

例2：在Rt△ABC中，一直角邊分別為5，斜邊為13，求另一直角邊的長是多少？

【答案】另一直角邊的長是12.通過簡單計算題的練習，幫助學生回顧勾股定理，加深定理的記憶理解，為新課作好準備

小結：在上面兩個小題中，我們應用了勾股定理：

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則c2=a2+b2.加深定理的記憶理解，突出定理的作用.

新

課

講

解

勾股定理能解決直角三角形的許多問題，因此在現(xiàn)實生活和數(shù)學中有著廣泛的應用．

例3：如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高AB為4cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程．

【解析】螞蟻實際上是在圓柱的半個側面內(nèi)爬行．大家用一張白紙卷折圓柱成圓柱形狀，標出A.B.C.D各點，然后打開，螞蟻在圓柱上爬行的距離，與在平面紙上的距離一樣．AC之間的最短距離是什么？根據(jù)是什么？（學生回答）

根據(jù)“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側面展開圖矩形ABCD對角線AC之長．我們可以利用勾股定理計算出AC的長.

解：如圖，在Rt△ABC中，BC＝底面周長的一半＝10cm，

∴AC＝＝

＝≈10.77（cm）（勾股定理）．

答：最短路程約為10.77cm．

例4：一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?

【解析】由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH．如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥AB，與地面交于H．

解：在Rt△OCD中，由勾股定理得

CD＝＝＝0.6米，

CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門．

通過動手作模型，培養(yǎng)學生的動手、動腦能力，解決“學生空間想像能力有限，想不到螞蟻爬行的路徑”的難題，從而突破難點.

由學生回答“AC之間的最短距離及根據(jù)”，有利于幫助學生找準新舊知識的連接點，喚起與形成新知識相關的舊知識，從而使學生的原認知結構對新知識的學習具有某種“召喚力”

再次提問，突出勾股定理的作用，加深記憶.

利用多媒體設備演示卡車通過廠門正中間時的過程（在幾何畫板上畫出廠門的形狀，用移動的矩形表示卡車，矩形的高低可調(diào)），讓學生通過觀察，找到需要計算的線段CH、CD及CD所在的直角三角形OCD，將實際問題轉化為應用勾股定理解直角三角形的數(shù)學問題.

小

結本節(jié)課我們學習了應用勾股定理來解決實際問題.在實際當中，長度計算是一個基本問題，而長度計算中應用最多、最基本的就是解直角三角形，利用勾股定理已知兩邊求第三邊，我們要掌握好這一有力工具.

課堂練習練習

1.如圖，從電桿離地面5米處向地面拉一條7米長的鋼纜，求地面鋼纜固定點A到電桿底部B的距離．

【答案】

2.現(xiàn)準備將一塊形為直角三角形的綠地擴大，使其仍為直角三角形，兩直角邊同時擴大到原來的兩倍，問斜邊擴大到原來的多少倍?

【答案】2

（四）作業(yè)：習題

（五）策略分析

為防止以上錯誤的出現(xiàn)，除了講清楚定理，還應該強調(diào)：

1.定理中基本公式中的項都是平方項；

2.計算直角邊時需要將基本公式移項變形，按平方差計算.

3.最后求邊長時，需要進行開平方運算.

【反思】

本節(jié)課是人教版數(shù)學八年級下冊第十七章第一節(jié)第二課時的內(nèi)容，是學生在學習了三角形的有關知識，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性質(zhì)和一個三角形是直角三角形的條件的基礎上學習勾股定理，加深對勾股定理的理解，提高學生對數(shù)形結合的應用與理解。本節(jié)第一課時安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想、證明及簡單應用的過程；第二課時是通過例題分析與講解，讓學生感受勾股定理在實際生活中的應用，通過從實際問題中抽象出直角三角形這一模型，強化轉化思想，培養(yǎng)學生解決問題的意識和應用能力。

針對本班學生的特點，學生知識水平、學習能力的差距，本節(jié)課安排了如下幾個環(huán)節(jié)：

一、復習引入

對上節(jié)課勾股定理內(nèi)容進行回顧，強調(diào)易錯點。由于學生的注意力集中時間較短，學生知識水平低，引入內(nèi)容簡短明了，花費時間短。

二、例題講解，鞏固練習，總結數(shù)學思想方法

活動一：用對媒體展示搬運工搬木板的問題，讓學生以小組交流合作，如何將木板運進門內(nèi)？需要知道們的寬、高，還是其他的條件？學生展示交流結果，之后教師引導學生書寫板書。整個活動以學生為主體，教師及時的引導和強調(diào)。

活動二：解決例二梯子滑落的問題。學生自主討論解決問題，書寫過程，之后投影學生書寫過程，教師與學生一起合作修改解題過程。

活動三：學生討論總結如何將實際生活中的問題轉化為數(shù)學問題，然后利用勾股定理解決問題。利用勾股定理的前提是什么？如何作輔助線構造這一前提條件？在數(shù)學活動中發(fā)展了學生的探究意識和合作交流的習慣；體會勾股定理的應用價值，讓學生體會到數(shù)學來源于生活，又應用到生活中去，在學習的過程中體會獲得成功的喜悅，提高了學生學習數(shù)學的興趣和信心。

二、鞏固練習，熟練新知

通過測量旗桿活動，發(fā)展學生的探究意識，培養(yǎng)學生動手操作的能力，增加學生應用數(shù)學知識解決實際問題的經(jīng)驗和感受。

在教學設計的實施中，也存在著一些問題：

1.由于本班學生能力的差距，本想著通過學生幫帶活動，使學困生充分參與課堂，但在學生合作交流是由于學習能力強的學生，對問題的分析解決所用時間短，而在整個環(huán)節(jié)設計中轉接的快，未給學困生充分的時間，導致部分學生未能真正的參與到課堂中來。

2.課堂上質(zhì)疑追問要起到好處，不要增加學生展示的難度，影響展示進程出現(xiàn)中斷或偏離主題的現(xiàn)象。

3.對學生課堂展示的評價方式應體現(xiàn)生評生，師評生，及評價的針對性和及時性。

八年級數(shù)學上冊《勾股定理的應用》教學設計教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《八年級數(shù)學上冊《勾股定理的應用》教學設計教案反思》

《八年級數(shù)學上冊《勾股定理的應用》教學設計教案反思》這是一篇八年級上冊數(shù)學教案，使用多媒體進行教學，使知識顯得形象直觀，充分發(fā)揮現(xiàn)代技術作用。

八年級數(shù)學上冊《勾股定理的應用》教學設計

【學習目標】

能運用勾股定理及直角三角形的判別條件解決簡單的實際問題.

【學習重點】

勾股定理及直角三角形的判別條件的運用.

【學習重點】

直角三角形模型的建立.

【學習過程】

一.課前復習

勾股定理及勾股定理逆定理的區(qū)別

二.新課學習

探究點一：螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路徑問題

1.3如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長是18cm.在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？

思考：

1.利用學具，嘗試從A點到B點沿圓柱側面畫出幾條線路，你認為

這樣的線路有幾條？可分為幾類？

2.將右圖的圓柱側面剪開展開成一個長方形，B點在什么位置？從

A點到B點的最短路線是什么?你是如何畫的?

1.33.螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？你是如何解答這個問題的？畫出圖形，寫出解答過程。

4.你是如何將這個實際問題轉化為數(shù)學問題的？

小結：

你是如何解決圓柱體側面上兩點之間的最短距離問題的？

探究點二：利用勾股定理逆定理如何判斷兩線垂直？

1.31.31.3李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直底邊AB，

但他隨身只帶了卷尺。（參看P13頁雕塑圖1-13）

（1）你能替他想辦法完成任務嗎？

1.31.3（2）李叔叔量得AD的長是30cm，AB的長是40cm，

BD長是50cm.AD邊垂直于AB邊嗎？你是如何解決這個問題的？

（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

小結：通過本道例題的探索，判斷兩線垂直，你學會了什么方法？

探究點三：利用勾股定理的方程思想在實際問題中的應用

例圖1-14是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，試求滑道AC的長.

1.3

思考：

1.求滑道AC的長的問題可以轉化為什么數(shù)學問題？

2.你是如何解決這個問題的？寫出解答過程。

小結：

方程思想是勾股定理中的重要思想，勾股定理反應的直角三角形三邊的關系正是構建方程的基礎．

四．課堂小結：本節(jié)課你學到了什么？

三．新知應用

1.如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走最近？并求出最近距離．

1.3

2.如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長10尺，它高出水而1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L度是（）

1.3

五．作業(yè)布置：習題1.41，3，4題

【反思】

一、教師我的體會：

勾股定理的應用教學反思范文

①、我根據(jù)學生實際情況認真?zhèn)湔n這節(jié)課，書本總共兩個例題，且兩個例題都很難，如果一節(jié)課就講這兩題難題，那一方面學生的學習效率會比較低，另一方面會使學生畏難情緒增加。所以，我簡化教材，使教材易于操作，讓學生易于學習，有利于學生學習新知識、接受新知識，降低學習難度。

把教材讀薄，

②、除了備教材外，還備學生。從教案及授課過程也可以看出，充分考慮到了學生的年齡特點：對新事物有好奇心，但對新知識的鉆研熱情又不夠高，這樣，造成教學難度較大，為了改變這一狀況，在處理教材時，把某些數(shù)學語言轉換成通俗文字來表達，把難度大的運用能力降低為難度稍細的理解能力，讓學生樂于面對奧妙而又有一定深度的數(shù)學，樂于學習數(shù)學。

③、新課選用的例子、練習，都是經(jīng)過精心挑選的，運用性強，貼近生活，與生活實際緊密聯(lián)系，既達到學習、鞏固新知識的目的，同時，又充分展現(xiàn)出數(shù)學教學的重大特征：數(shù)學源于生活實際，又服務于生活實際。勾股定理源于生活，但同時它又能極大的為生活服務。

④、使用多媒體進行教學，使知識顯得形象直觀，充分發(fā)揮現(xiàn)代技術作用。

二、學生體會：

課前，我們也去查閱了一些資料，關于勾股定理的證明以及有關的一些應用，通過這節(jié)課，真真發(fā)現(xiàn)勾股定理真真來源于生活，我們的幾何圖形和幾何計算對于勾股定理來說非常廣泛，而且以后更要用好它。對于勾股定理都應用時，我覺得關鍵是找到相關的三角形，并且分清直角邊或斜邊，靈活機智地進行計算和一些推理。另外與同學間在數(shù)學課上有自主學習的機會，有相互之間的討論、爭辯等協(xié)作的機會，在合作學習的過程中共同提高我覺得都是難得的機會。鍛煉了能力，提高了思維品質(zhì)，并且勾股定理的應用中我覺得圖形很美，古代的數(shù)學家已經(jīng)有了很好的研究并作出了很大的'貢獻，現(xiàn)代的藝術家們也在各方面用到很多，同時在課堂中漸漸地培養(yǎng)了我們的數(shù)學興趣和一定的思維能力。

不過課堂上老師在最后一題的畫圖中能放一放，讓我們有時間去思考怎么畫，那會更好些，自然思維也得到了發(fā)展。課上老師鼓勵我們嘗試不完善的甚至錯誤的意見，大膽發(fā)表自己的見解，體現(xiàn)了我們是學習的主人。數(shù)學課堂里充滿了智慧。

北師大版數(shù)學九年級上冊6.3反比例函數(shù)的應用優(yōu)秀教案反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版數(shù)學九年級上冊6.3反比例函數(shù)的應用優(yōu)秀教案反思》

《北師大版數(shù)學九年級上冊6.3反比例函數(shù)的應用優(yōu)秀教案反思》這是一篇九年級上冊數(shù)學教案，教師應以學段教學目標為背景，以本章教學目標為標準來考察學生的學習狀況。在教與學的過程中，了解學生數(shù)學活動中情感與智力的參與程度和目標達到的水平，及時進行歸因分析，不斷積極引導和激勵。同時利用診斷結果不斷改進自己的教學。

6.3反比例函數(shù)的應用

1.會根據(jù)實際問題中變量之間的關系，建立反比例函數(shù)模型；（重點）

2.能利用反比例函數(shù)解決實際問題.（難點）

一、情景導入

我們都知道，氣球內(nèi)可以充滿一定質(zhì)量的氣體.

如果在溫度不變的情況下，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（kPa）與氣體體積V（m3）之間有怎樣的關系？你想知道氣球在什么條件下會爆炸嗎？

二、合作探究

探究點一：實際問題與反比例函數(shù)

做拉面的過程中，滲透著反比例函數(shù)的知識.一定體積的面團做成拉面，面條的總長度y（m）是面條的粗細（橫截面積）S（mm2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示：

（1）寫出y與S之間的函數(shù)表達式；

（2）當面條的橫截面積為1.6mm2時，面條的總長度是多少米？

（3）要使面條的橫截面積不多于1.28mm2，面條的總長度至少是多少米？

解析：由題意可設y與S之間的函數(shù)表達式為y＝kS，而P（32，4）為函數(shù)圖象上一點，所以把對應的S，y的值代入函數(shù)表達式即可求出比例系數(shù)，從而得出反比例函數(shù)的表達式，最后根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.

解：（1）由題意可設y與S之間的函數(shù)關系式為y＝kS.∵點P（4，32）在圖象上，

∴32＝k4，∴k＝128.

∴y與S之間的函數(shù)表達式為y＝128S（S>0）；

（2）把S＝1.6代入y＝128S中，得y＝1281.6＝80.

∴當面條的橫截面積為1.6mm2時，面條的總長度是80m；

（3）把S＝1.28代入y＝128S，得y＝100.

由圖象可知，要使面條的橫截面積不多于1.28mm2，面條的總長度至少應為100m.

方法總結：解決實際問題的關鍵是認真閱讀，理解題意，明確基本數(shù)量關系（即題中的變量與常量之間的關系），抽象出實際問題中的反比例函數(shù)模型，由此建立反比例函數(shù)，再利用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題.

探究點二：反比例函數(shù)與其他學科知識的綜合

某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干木塊，構筑成一條臨時近道.木板對地面的壓強p（Pa）是木板面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

（1）請直接寫出這一函數(shù)表達式和自變量的取值范圍；

（2）當木板面積為0.2m2時，壓強是多少？

（3）如果要求壓強不超過6000Pa，木板的面積至少要多大？

解析：由于木板對地面的壓強p（Pa）是木板面積S（m2）的反比例函數(shù)，而圖象經(jīng)過點A，于是可以利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的關系式，進而可以進一步求解.

解：（1）設木板對地面的壓強p（Pa）與木板面積S（m2）的反比例函數(shù)關系式為p＝kS（S>0）.

因為反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1.5，400），所以有k＝600.

所以反比例函數(shù)的關系式為p＝600S（S>0）；

（2）當S＝0.2時，p＝6000.2＝3000，即壓強是3000Pa；

（3）由題意知600S≤6000，所以S≥0.1，即木板面積至少要有0.1m2.

方法總結：本題滲透了物理學中壓強、壓力與受力面積之間的關系p＝，當壓力F一定時，p與S成反比例.另外，利用反比例函數(shù)的知識解決實際問題時，要善于發(fā)現(xiàn)實際問題中變量之間的關系，從而進一步建立反比例函數(shù)模型.

三、板書設計

反比例函數(shù)的應用實際問題與反比例函數(shù)反比例函數(shù)與其他學科知識的綜合

經(jīng)歷分析實際問題中變量之間的關系，建立反比例函數(shù)模型，進而解決問題的過程，提高運用代數(shù)方法解決問題的能力，體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，增強應用意識.通過反比例函數(shù)在其他學科中的運用，體驗學科整合思想.

【反思】

“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是反比例函數(shù)的教學重點，學生需要在理解的基礎上熟練運用。為此應該有意識地加強反比例函數(shù)與正比例函數(shù)之間的對比。對比可以從以下幾個方面進行：

（1）兩種函數(shù)的關系式有何不同？兩種函數(shù)的圖像的特征有何區(qū)別？

（2）在常數(shù)相同的情況下，當自變量變化時，兩種函數(shù)的函數(shù)值的變化趨勢有什么區(qū)別？

（3）兩種函數(shù)的取值范圍有什么不同，常數(shù)的符號的改變對兩種函數(shù)圖像的變化趨勢有什么影響？

從這些方面去比較理解反比例函數(shù)與一次函數(shù)，幫助學生將所學知識串聯(lián)起來，提高學生綜合能力。

此外，在學習反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)（k大于0雙曲線的兩個分支在一、三象限，k小于0雙曲線的兩個分支在二、四象限）時，學生由畫法觀察圖象可知；而增減性由解析式y(tǒng)等于k比x（k不等于0），學生也容易理解，但從圖象觀察增減性較難，借助計算機的動態(tài)演示就容易多了。運用多媒體比較兩函數(shù)圖像，使學生更直觀、更清楚地看清兩函數(shù)的區(qū)別。從而使學生加深對兩函數(shù)性質(zhì)的理解。

通過本案例的教學，使我深刻地體會到了信息技術在數(shù)學課堂教學中的靈活性、直觀性。雖然制作起來比較麻煩，但能使課堂教學達到預想不到的效果，使課堂教學效率也明顯提高。

在評價學生的學習時應關注以下幾個過程

1、關注學生學習過程，進行形成性評價

教師應以學段教學目標為背景，以本章教學目標為標準來考察學生的學習狀況。在教與學的過程中，了解學生數(shù)學活動中情感與智力的參與程度和目標達到的水平，及時進行歸因分析，不斷積極引導和激勵。同時利用診斷結果不斷改進自己的教學。

2、知識技能的評價，注重學生對函數(shù)概念及反比例函數(shù)的理解水平。

本部分內(nèi)容中，對知識技能的評價包括：能否理解反比例函數(shù)的概念，了解函數(shù)及其圖象的主要性質(zhì)；能否根據(jù)所給信息確定反比例函數(shù)表達式，畫出反比例函數(shù)的圖象，并利用它們解決簡單的實際問題等。對這些知識技能的評價，應當更多的關注其在實際問題情境中的意義理解。如對于反比例函數(shù)的概念及其性質(zhì)，關鍵是體會它們在不同情境中的應用，只要學生能在具體情境應用它們解決問題即可，而不要過于關注其具體運用的熟練程度，如可以要求學生舉例說明反比例函數(shù)在顯示生活中的應用等。

3、發(fā)展性評價，關注數(shù)學活動引起人的變化

觀察反比例函數(shù)圖象獲取函數(shù)相關性質(zhì)的信息有較大空間，考察學生能否對信息作出靈敏反應，應用時，能否善于分析和決策，靈活支配運用知識有效的解決問題。關注并追蹤這些活動所引起的學生的持久變化。

不足與改進：在整個課堂教學過程中，教師圍繞主題、圍繞學生提問的多，給學生提問的時間和機會很少．我的改進設想是：留給時間讓學生提出問題，師生共同討論、交流，讓學生的學習更富有主動性；在活動一畫出反比例函數(shù)的圖象后，沒有讓學生趁熱打鐵“看圖說話”，說出具體的圖象的特征，為活動二猜想作很好的鋪墊．我的改進設想是：在活動一畫出反比例函數(shù)的圖象后，追加這樣一個問題：“請同學們仔細觀察圖象并進行討論，這個反比例函數(shù)的圖象區(qū)別于一次函數(shù)的圖象有那些不同的特征呢？”留給時間讓學生討論、交流，這樣改進之后，必將能更大的激發(fā)學生的探索熱情，更能體現(xiàn)學生的創(chuàng)新能力，同時也為進一步學習反比例函數(shù)的圖象的特征埋下伏筆，能增強學生學習的信心．

北師大版九年級數(shù)學下冊3.7切線長定理1教學設計反思

現(xiàn)在向您介紹幼兒園教案《北師大版九年級數(shù)學下冊3.7切線長定理1教學設計反思》

《北師大版九年級數(shù)學下冊3.7切線長定理1教學設計反思》這是一篇九年級下冊數(shù)學教案，在教學過程中，通過安排實踐操作活動，使學生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學生操作并思考回答問題，教師在學生回答問題的基礎上進一步引導學生從中發(fā)現(xiàn)問題，讓學生體會從具體情景和實踐操作中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．通過設計問題情境，使學生提高解決問題的意識，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認識，進而不斷地比較，讓學生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確，使學生體會數(shù)學發(fā)展的過程.

*3.7切線長定理

1．理解切線長的定義；(重點)

2．掌握切線長定理并能運用切線長定理解決問題．(難點)

一、情境導入

如圖①，PA為⊙O的一條切線，點A為切點．如圖②所示，沿著直線PO將紙對折，由于直線PO經(jīng)過圓心O，所以PO是圓的一條對稱軸，兩半圓重合．設與點A重合的點為點B，這里，OB是⊙O的一條半徑，PB是⊙O的一條切線．圖中PA與PB、∠APO與∠BPO有什么關系？

二、合作探究

探究點：切線長定理

【類型一】利用切線長定理求線段的長

如圖，從⊙O外一點P引圓的兩條切線PA、PB，切點分別是點A和點B，如果∠APB＝60°，線段PA＝10，那么弦AB的長是()

A．10

B．12

C．53

D．103

解析：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等邊三角形，∴AB＝PA＝10.故選A.

方法總結：切線長定理是在圓中判斷線段相等的主要依據(jù)，經(jīng)常用到．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

【類型二】利用切線長定理求角的度數(shù)

如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，點C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度數(shù)是________度．

解析：如圖所示，連接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切線，切點分別為A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易證△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案為20.

方法總結：由公共點引出的兩條切線，可以運用切線長定理得到等腰三角形．另外根據(jù)全等的判定，可得到PO平分∠APB.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題

【類型三】利用切線長定理求三角形的周長

如圖，PA、PB、DE是⊙O的切線，切點分別為A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半徑為5cm，求△PDE的周長．

解析：連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OA⊥PA.根據(jù)勾股定理，得PA＝12，再根據(jù)切線長定理即可求得△PDE的周長．

解：連接OA，則OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根據(jù)勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切線，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周長PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.

方法總結：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題

【類型四】利用切線長定理解決圓外切四邊形的問題

如圖，四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點E、F、G、H，判斷AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．

解析：直接利用切線長定理解答即可．

解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四邊形ABCD的邊與圓O分別相切于點E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.

方法總結：由切線長定理可以得到一些相等的線段，一定要明確這些相等線段．記住“圓外切四邊形的對邊之和相等”，對我們以后解決問題有很大幫助．

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

【類型五】切線長定理與三角形內(nèi)切圓的綜合

如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F.

(1)求證：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半徑．

解析：(1)利用切線長定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，進而得出BD＝CF，即可得出答案；

(2)首先連接OD、OE、OF，進而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，進而得出四邊形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半徑．

(1)證明：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；

(2)解：連接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四邊形ODAF是正方形．設OD＝AD＝AF＝r，則BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝22.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半徑是2－2.

方法總結：本題綜合考查了正方形的判定以及切線長定理和勾股定理等知識，解決問題的關鍵是得出四邊形ODAF是正方形．

【類型六】利用切線長定理解決存在性問題

如圖①，已知正方形ABCD的邊長為23，點M是AD的中點，P是線段MD上的一動點(P不與M，D重合)，以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交BC于點F，切點為E.

(1)除正方形ABCD的四邊和⊙O中的半徑外，圖中還有哪些相等的線段(不能添加字母和輔助線)?

(2)求四邊形CDPF的周長；

(3)延長CD，F(xiàn)P相交于點G，如圖②所示．是否存在點P，使BF?FG＝CF?OF？如果存在，試求此時AP的長；如果不存在，請說明理由．

解析：(1)根據(jù)切線長定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根據(jù)切線長定理，發(fā)現(xiàn)該四邊形的周長等于正方形的三邊之和；(3)若要滿足結論，則∠BFO＝∠GFC，根據(jù)切線長定理得∠BFO＝∠EFO，從而得到這三個角應是60°，然后結合已知的正方形的邊長，也是圓的直徑，利用30°的直角三角形的知識進行計算．

解：(1)FB＝FE，PE＝PA；

(2)四邊形CDPF的周長為FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；

(3)假設存在點P，使BF?FG＝CF?OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF?tan∠GFC＝CF?tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG?tan∠PGD＝DG?tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.

方法總結：由于存在性問題的結論有兩種可能，所以具有開放的特征，在假設存在性以后進行的推理或計算．一般思路是：假設存在——推理論證——得出結論．若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷，若導出矛盾，就做出“不存在”的判斷．

三、板書設計

切線長定理

1．切線長的概念

2．切線長定理

3．切線長定理的應用

在教學過程中，通過安排實踐操作活動，使學生提高了探究的興趣．首先教師突出操作要求，學生操作并思考回答問題，教師在學生回答問題的基礎上進一步引導學生從中發(fā)現(xiàn)問題，讓學生體會從具體情景和實踐操作中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．通過設計問題情境，使學生提高解決問題的意識，通過自己畫圖嘗試從中得到感性認識，進而不斷地比較，讓學生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確，使學生體會數(shù)學發(fā)展的過程.