等差數(shù)列課件

等差數(shù)列課件10篇。

教案課件是老師不可缺少的課件，我們需要靜下心來寫教案課件。制定好教案需要教師有穩(wěn)定的教學基礎(chǔ)。以下是我們?yōu)槟淼囊幌盗信c“等差數(shù)列課件”有關(guān)的內(nèi)容，請您認真閱讀本文并考慮收藏保存！

等差數(shù)列課件 篇1

3、通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣。

教學重點是通項公式的認識；

教學難點是對公式的靈活運用．。

實物投影儀，多媒體軟件，電腦。

研探式。

一。復習提問。

等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關(guān)系加以定義的，這個關(guān)系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用。

二。主體設(shè)計。

通項公式反映了項與項數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后，數(shù)列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知求）。找學生試舉一例如：“已知等差數(shù)列中，首項，公差，求?！边@是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上。

1、方程思想的運用。

（1）已知等差數(shù)列中，首項，公差，則－397是該數(shù)列的第項。

（2）已知等差數(shù)列中，首項，則公差。

（3）已知等差數(shù)列中，公差，則首項。

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量，在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量。

2、基本量方法的使用。

若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關(guān)于和的二元方程組，所以這些等差數(shù)列是確定的，由和寫出通項公式，便可歸結(jié)為前一類問題。解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關(guān)于和的二元方程組，以求得和，和稱作基本量。

教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個條件（等式），能否確定一個等差數(shù)列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關(guān)于和的二元方程，這是一個和的制約關(guān)系，從這個關(guān)系可以得到什么結(jié)論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）。

（3）已知等差數(shù)列中，求；；；；…。

類似的還有。

以上屬于對數(shù)列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出。

4、研究項的符號。

這是為研究等差數(shù)列前項和的最值所做的準備工作?？膳鋫涞念}目如。

（1）已知數(shù)列的通項公式為，問數(shù)列從第幾項開始小于0？

（2）等差數(shù)列從第項起以后每項均為負數(shù)。

三。小結(jié)。

1、用方程思想認識等差數(shù)列通項公式；

2、用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題。

等差數(shù)列課件 篇2

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學5》(人教版)第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。

數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分;另一方面，學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

二、學生學習情況分析

教學內(nèi)容針對的是高二的學生，經(jīng)過高中一年的學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，所以在授課時要從具體的生活實例出發(fā)，使學生產(chǎn)生學習的興趣，注重引導、啟發(fā)學生的積極主動的去學習數(shù)學，從而促進思維能力的進一步提高。

三、設(shè)計思想

1.教法

⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構(gòu);有利于突出重點，突破難點;有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性。

⑶講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點。2.學法

引導學生首先從四個現(xiàn)實問題(數(shù)數(shù)問題、女子舉重獎項設(shè)置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。

在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

四、教學目標

通過本節(jié)課的學習使學生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導學生了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題;并在此過程中培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力。

五、教學重點與難點

重點：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列的通項公式的推導過程及應用。難點：

①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。②理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵：

等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。

六、教學過程(略)

等差數(shù)列課件 篇3

數(shù)學是思維的體操，是培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體，新課程倡導：強調(diào)過程，強調(diào)學生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗，不能在讓教學脫離學生的內(nèi)心感受，必須讓學生追求過程的體驗?；谝陨险J識，在設(shè)計本節(jié)課時，教師所考慮的不是簡單告訴學生等差數(shù)列的定義和通項公式，而是創(chuàng)造一些數(shù)學情境，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)、證明。在這個過程中，學生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大的激發(fā)了學生的學習興趣，也提高了他們提出問題解決問題的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)造力。這正是新課程所倡導的數(shù)學理念。

本節(jié)課借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題的情境，讓探究式教學走進課堂，保障學生的主體地位，喚醒學生的主體意識，發(fā)展學生的主體能力，塑造學生的主體人格，讓學生在參與中學會學習、學會合作、學會創(chuàng)新。

高中數(shù)學必修五第二章第二節(jié)，等差數(shù)列，兩課時內(nèi)容，本節(jié)是第一課時。研究等差數(shù)列的定義、通項公式的推導，借助生活中豐富的典型實例，讓學生通過分析、推理、歸納等活動過程，從中了解和體驗等差數(shù)列的定義和通項公式。通過本節(jié)課的學習要求理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式，并且了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

本節(jié)是第二章的基礎(chǔ)，為以后學習等差數(shù)列的求和、等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)，是本章的重點內(nèi)容。在高考中也是重點考察內(nèi)容之一，并且在實際生活中有著廣泛的應用，它起著承前啟后的作用。同時也是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的良好題材。等差數(shù)列是學生探究特殊數(shù)列的開始，它對后續(xù)內(nèi)容的學習，無論在知識上，還是在方法上都具有積極的意義。

學生已經(jīng)具有一定的理性分析能力和概括能力，且對數(shù)列的知識有了初步的接觸和認識，對數(shù)學公式的運用已具備一定的技能，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學活動過程，對函數(shù)、方程思想體會逐漸深刻。他們的思維正從屬于經(jīng)驗性的邏輯思維向抽象思維發(fā)展，但仍需要依賴一定的具體形象的經(jīng)驗材料來理解抽象的邏輯關(guān)系。同時思維的嚴密性還有待加強。

1.知識目標：理解等差數(shù)列概念，掌握等差數(shù)列的通項公式，了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

2.能力目標：培養(yǎng)學生觀察、歸納能力，應用數(shù)學公式的能力及滲透函數(shù)、方程的思想。

3.情感目標：體驗從特殊到一般，又到特殊的認知規(guī)律，提高數(shù)學猜想、歸納的能力。

教學難點：對等差數(shù)列概念的理解及學會通項公式的推導及應用。

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動共同發(fā)展的過程，結(jié)合學生的實際情況，及本節(jié)內(nèi)容的特點，我采用的是“問題教學法”，其主導思想是以探究式教學思想為主導，由教師提出一系列精心設(shè)計的問題，在教師的啟發(fā)指導下，讓學生自己去分析、探索，在探索過程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而使學生即獲得知識又發(fā)展智能的目的。

教學手段：多媒體計算機和傳統(tǒng)黑板相結(jié)合。通過計算機模擬演示，使學生獲得感性知識的同時，為掌握理性知識創(chuàng)造條件，這樣做，可以使學生有興趣地學習，注意力也容易集中，符合教學論中的直觀性原則和可接受性原則。而保留使用黑板則能讓學生更好的經(jīng)歷整個教學過程。

設(shè)計意圖：希望學生能通過日常生活中的實際問題的分析對比，建立等差數(shù)列模型，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程。

師—把上面的數(shù)列各項依次記為 ，填空：

師—上面這個規(guī)律還有其他形式嗎?

師—你能用普通語言概括上面的規(guī)律嗎?

學生—自由發(fā)言，選擇最恰當?shù)恼Z言。

上面的數(shù)列已找出這一特殊規(guī)律，下面再觀察一些數(shù)列并也找出它們的規(guī)律。

(1)20北京奧運會，女子舉重共設(shè)置7個級別，其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列(單位：kg)：

(2)水庫的管理員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列(單位：m)

(3)我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：

時間 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%， 那么按照單利，5年內(nèi)各年末本利和分別是：如下表(假設(shè)5年既不加存款也不取款，且不扣利息稅)

學生—(1) ， ，

(2) ， ，

(3) ， ，

師 —滿足這種特征的數(shù)列很多，我們有必要為這樣的數(shù)列取一個名字?

師—給出文字敘述的定義(學生敘述，板書定義)：

一般的，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，d為公差，a1為數(shù)列的首項。

對定義進行分析，強調(diào)： = 1 GB3 ① 同一個常數(shù); = 2 GB3 ② 從第二項起。

師—這樣的數(shù)列在生活中的例子，誰能再舉幾個?

52，50，48，46，44，42，40，38.

21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25

1，2，4，6，8，10，12，……

0，1，2，3，4，5，6，……

3，3，3，3，3，3，3……

2，4，7，11，16，……

-8，-6，-4，0，2，4，……

3，0，-3，-6，-9，……

設(shè)計意圖：概括等差中項的概念?？偨Y(jié)等差中項公式，用于發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)。

師生活動：

師—想一想，一個等差數(shù)列最少有幾項?它們之間有什么關(guān)系?

學生思考后回答，至少三項，然后老師引導學生概括等差中項的概念。

設(shè)三個數(shù) 成等差數(shù)列，則A叫a與b的等差中項。同時有A-a=b-A，

(2)等差數(shù)列中的任意連續(xù)三項都構(gòu)成等差數(shù)列 ，反之亦成立。

設(shè)計意圖：通過具體數(shù)列的通項公式，總結(jié)一般等差數(shù)列的通項公式，體會特殊到一般的數(shù)學思想方法。

師生活動：

師—對于一個數(shù)列，我們最關(guān)心的是每一項，而這就要求我們能知道它的通項公式。下面一起來研究等差數(shù)列的通項公式。

先寫出上面引例中等差數(shù)列的通項公式。再推導一般等差數(shù)列的通項公式。

師—若一個數(shù)列 是等差數(shù)列，它的公差是d，那么數(shù)列 的通項公式是什么?

啟發(fā)學生：(歸納、猜想)可用首項與公差表示數(shù)列中任意一項。

學生—第二項，所以n≥2。

師—n=1時呢?

師—很好!

等差數(shù)列課件 篇4

教學目標：1、使學生進一步地明確等差(比)數(shù)列、等差(比)中頃的概念;

2、使學生進一步地熟練地掌握等差(比)數(shù)列的通項公式及推導公式;

3、使學生較靈活地應用等差(比)數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問題。

教學重點：等差(比)數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)的理解與應用。

教學難點：靈活應用等差(比)數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)的問題。

教學準備：利用自習將思考題(一)(二)發(fā)放給學生，讓他們先思考，教師解答學生在思考過程中出現(xiàn)的問題。

課 型：專題復習課。

時間安排：45’×2

教學過程：

第一課時

一、回顧等差數(shù)列的有關(guān)基礎(chǔ)知識

教 法：1、指名學生回答等差數(shù)列的概念，等差中頃，通項公式，前幾項求和公式。

2、教師點評，師生達成共識。

二、領(lǐng)悟“思考題(一)”

教 法：1、以拖火車的形式指名學生回答思考題(一)的4個問題。

2、教師點評，師生達成共識。

⑴由思考1還可以得到這樣的結(jié)論，在等差數(shù)列{an}中，

m+n

若 =k，則am+an=2ak(m,n,k∈N_)與性質(zhì)：

在等差數(shù)列{an}中m+n=p+q→am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N_)是一致的)。

⑵由思考題2還可以得到這樣的變式:①an=am+(n—m)d或am=an+(m—n)d

an—a1

②d=

n—1

⑶由思考題3、4可以得到這樣的性質(zhì)：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前幾項和為Sn，則有如下性質(zhì)：Sn，S2n—Sn，S3n—S2n……也成等差數(shù)列，公差為nd2。

三、學生操練

教 法：1、指名學生板演，其余學生思考，教師巡回指導，著重關(guān)注學困生。

2、教師點評，師生達成共識：巧妙地應用等差數(shù)列的性質(zhì)(或通項公式的變形式)求解，能簡化解題過程。

四、布置作業(yè)：1、第6、7題。 2、思考題(二)

第二課時

一、回顧等比數(shù)列的.有關(guān)基礎(chǔ)知識

教 法：1、指名學生回答“等比數(shù)列的概念，等比中項，通項公式，前n項求和公式”。

2、教師點評，師生達成共識。

等差數(shù)列課件 篇5

請同學們來思考這樣一個問題. 如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a、A、b成等差數(shù)列，那么A應滿足什么條件？ 由等差數(shù)列定義及a、A、b成等差數(shù)列可得：A－a＝b－A，即：a＝. 反之，若A＝，則2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差數(shù)列. 總之，A＝ a，A，b成等差數(shù)列. 如果a、A、b成等差數(shù)列，那么a叫做a與b的等差中項. ?? 例題講解 ［例1］在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25. 思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩項，可求出a1和d，然后可得出該數(shù)列的通項公式，便可求出a25. 思路二：若注意到已知項為a5與a15，所求項為a25，則可直接利用關(guān)系式an＝am＋(n－m)d.這樣可簡化運算. 思路三：若注意到在等差數(shù)列{an}中，a5，a15，a25也成等差數(shù)列，則利用等差中項關(guān)系式，便可直接求出a25的值. ? ［例2］(1)求等差數(shù)列8，5，2…的第20項. 分析：由給出的三項先找到首項a1,求出公差d，寫出通項公式，然后求出所要項. 答案：這個數(shù)列的第20項為－49. (2)－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13…的項?如果是，是第幾項? 分析：要想判斷－401是否為這數(shù)列的一項，關(guān)鍵要求出通項公式，看是否存在正整數(shù)n，可使得an＝－401. ∴－401是這個數(shù)列的第100項. ? Ⅲ.課堂練習1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的'第4項與第10項. ? （2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項. ? （3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 2.在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a4＝10，a7＝19，求a1與d； (2)已知a3＝9，a9＝3，求a12. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：an－an－1＝d(n≥2).其次，要會推導等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關(guān)系式：an＝am＋(n－m)d的理解與應用以及等差中項。 Ⅴ.課后作業(yè) 課本P39習題? 1，2，3，4

等差數(shù)列課件 篇6

【知識與技能】能夠復述等差數(shù)列的概念，能夠?qū)W會等差數(shù)列的通項公式的推導過程及蘊含的數(shù)學思想。

【過程與方法】在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，提高知識、方法遷移能力；通過階梯性練習，提高分析問題和解決問題的能力。

【情感態(tài)度與價值觀】通過對等差數(shù)列的研究，具備主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習慣。

【教學重點】。

等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項公式的推導過程及應用。

【教學難點】。

環(huán)節(jié)一：導入新課。

教師ppt展示幾道題目：

1.我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5一個數(shù)，可以得到數(shù)列：0，5，15，20，252.小明目前會100個單詞，他她打算從今天起不再背單詞了，結(jié)果不知不覺地每天忘掉2個單詞，那么在今后的五天內(nèi)他的單詞量逐日依次遞減為：100，98，96，94，92。

在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重正式列為比賽項目，該項目共設(shè)置了7個級別，其中交情的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。

教師提問學生這幾組數(shù)有什么特點？學生回答從第二項開始，每一項與前一項的差都等于一個常數(shù)，教師引出等差數(shù)列。

環(huán)節(jié)二：探索新知。

學生閱讀教材，同桌討論，類比等比數(shù)列總結(jié)出等差數(shù)列的概念。

如果一個數(shù)列，從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。

問題1：等差數(shù)列的概念中，我們應該注意哪些細節(jié)呢？

環(huán)節(jié)三：課堂練習。

（1）1，2，4，6，8，10，12，……。

（2）0，1，2，3，4，5，6，……。

（3）3，3，3，3，3，3，3，……。

（4）-8，-6，-4，-2，0，2，4，……。

（5）3,0，-3，-6，-9，……。

環(huán)節(jié)四：小結(jié)作業(yè)。

關(guān)鍵字：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)。

作業(yè)：現(xiàn)實生活中還有哪些等差數(shù)列的實際應用呢？根據(jù)實際問題自己編寫兩道等差數(shù)列的題目并進行求解。

等差數(shù)列課件 篇7

A、知識目標：

掌握等差數(shù)列前n項和公式的推導方法；掌握公式的運用。

B、能力目標：

（1）通過公式的探索、發(fā)現(xiàn)，在知識發(fā)生、發(fā)展以及形成過程中培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、歸納、分析、綜合和邏輯推理的能力。

（2）利用以退求進的思維策略，遵循從特殊到一般的認知規(guī)律，讓學生在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出等差數(shù)列的求和公式，培養(yǎng)學生類比思維能力。

（3）通過對公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題和解決問題的能力。

（1）公式的發(fā)現(xiàn)反映了普遍性寓于特殊性之中，從而使學生受到辯證唯物主義思想的熏陶。

（2）通過公式的運用，樹立學生“大眾教學”的思想意識。

（3）通過生動具體的現(xiàn)實問題，令人著迷的數(shù)學史，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感。

等差數(shù)列課件 篇8

教學目標

1。通過教與學的互動，使學生加深對等差數(shù)列通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

2。利用通項公式求等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

3。通過參與編題解題，激發(fā)學生學習的興趣。

教學重點，難點

教學重點是通項公式的認識；教學難點是對公式的靈活運用．

教學用具

實物投影儀，多媒體軟件，電腦。

教學方法

研探式。

教學過程

一。復習提問

前一節(jié)課我們學習了等差數(shù)列的概念、表示法，請同學們回憶等差數(shù)列的定義，其表示法都有哪些？

等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關(guān)系加以定義的，這個關(guān)系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用。

二。主體設(shè)計

通項公式 反映了項 與項數(shù) 之間的函數(shù)關(guān)系，當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后，數(shù)列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）。找學生試舉一例如：“已知等差數(shù)列 中，首項 ，公差 ，求 ?！边@是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上。

1。方程思想的運用

（1）已知等差數(shù)列 中，首項 ，公差 ，則－397是該數(shù)列的第______項。

（2）已知等差數(shù)列 中，首項 ， 則公差

（3）已知等差數(shù)列 中，公差 ， 則首項

這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量。

2?；玖糠椒ǖ氖褂?/p>

（1）已知等差數(shù)列 中， ，求 的值。

（2）已知等差數(shù)列 中， ， 求 。

若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結(jié)（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關(guān)于 和 的二元方程組，所以這些等差數(shù)列是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結(jié)為前一類問題。解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關(guān)于 和 的`二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量。

教師提出新的問題，已知等差數(shù)列的一個條件（等式），能否確定一個等差數(shù)列？學生回答后，教師再啟發(fā)，由這一個條件可得到關(guān)于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關(guān)系，從這個關(guān)系可以得到什么結(jié)論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）。

如：已知等差數(shù)列 中， …

由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關(guān)的還能有什么結(jié)論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關(guān)？多項有關(guān)？由學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善問題

（3）已知等差數(shù)列 中， 求 ； ； ； ；…。

類似的還有

（4）已知等差數(shù)列 中， 求 的值。

以上屬于對數(shù)列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

3。研究等差數(shù)列的單調(diào)性

，考察 隨項數(shù) 的變化規(guī)律。著重考慮 的情況。 此時 是 的一次函數(shù)，其單調(diào)性取決于 的符號，由學生敘述結(jié)果。這個結(jié)果與考察相鄰兩項的差所得結(jié)果是一致的。

4。研究項的符號

這是為研究等差數(shù)列前 項和的最值所做的準備工作。可配備的題目如

（1）已知數(shù)列 的通項公式為 ，問數(shù)列從第幾項開始小于0？

（2）等差數(shù)列 從第________項起以后每項均為負數(shù)。

三。小結(jié)

1。 用方程思想認識等差數(shù)列通項公式；

2。 用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題。

四。板書設(shè)計

等差數(shù)列通項公式

1。 方程思想的運用

2。 基本量方法的使用

3。 研究等差數(shù)列的單調(diào)性

4。 研究項的符號

等差數(shù)列課件 篇9

各位領(lǐng)導、各位專家：

你們好！我說課的課題是《等差數(shù)列》。我將從以下五個方面來分析本課題：

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

《等差數(shù)列》是北師大版新課標教材《數(shù)學》必修5第一章第二節(jié)的內(nèi)容，是學生在學習了數(shù)列的有關(guān)概念和學習了給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列知識的進一步深入和拓展。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了學習對比的依據(jù)。另一方面，等差數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分，有著廣泛的實際應用。

2、教學目標：

a、在知識上，要求學生理解并掌握等差數(shù)列的概念，了解等差數(shù)列通項公式的推導及思想，初步引入“數(shù)學建?！钡乃枷敕椒ú⒛芎唵芜\用。

b、在能力上，注重培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、推理的能力；在領(lǐng)會了函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移到研究數(shù)列上來，培養(yǎng)學生的知識、方法遷移能力，提高學生分析和解決問題的能力。

c、在情感上，通過對等差數(shù)列的研究，讓學生體驗從特殊到一般，又到特殊的認識事物的規(guī)律，培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新的科學精神。

3、教學重、難點：

重點：

①等差數(shù)列的概念。

②等差數(shù)列通項公式的推導過程及應用。

難點：

①等差數(shù)列的通項公式的推導。

②用數(shù)學思想解決實際問題。

二、學情分析

對于高二的學生，知識經(jīng)驗已經(jīng)比較豐富，他們的智力發(fā)展已經(jīng)到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力。

三、教法、學法分析

教法：本節(jié)課我采用啟發(fā)式、討論式以及講練結(jié)合的教學方法，通過提問題激發(fā)學生的求知欲，使學生主動參與數(shù)學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發(fā)現(xiàn)、分析并解決問題。

學法：在引導學生分析問題時，留出學生思考的余地，讓學生去聯(lián)想、探索，鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞等差數(shù)列這個中心各抒己見，把需要解決的問題弄清楚。

四、教學過程

我把本節(jié)課的教學過程分為六個環(huán)節(jié)：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題情境（通過多媒體給出現(xiàn)實生活中的四個特殊的數(shù)列）

1、我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，10，15，20，①

2、2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目，該項目共設(shè)置了7個級別，其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：Kg）：48，53，58，63②

3、水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5，最低降至5那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15、5，13，10、5，8，5、5③

4、按照我國現(xiàn)行儲蓄制度（單利），某人按活期存入10000元錢，5年內(nèi)各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10072，10144，10216，10288，10360④

教師活動：引導學生觀察以上數(shù)列，提出問題：

問題1、請說出這四個數(shù)列的后面一項是多少？

問題2、說出這四個數(shù)列有什么共同特點？

（二）新課探究

學生活動：對于問題1，學生容易給出答案。而問題2對學生來說較為抽象，不易回答準確。

教師活動：為引導學生得出等差數(shù)列的概念，我對學生的表述進行歸類，引導學生得出關(guān)鍵詞“從第2項起”、“每一項與前一項的差”、“同一個常數(shù)”告訴他們把滿足這些條件的數(shù)列叫做等差數(shù)列，之后由他們集體給出等差數(shù)列的概念以及其數(shù)學表達式。

同時為了配合概念的理解，用多媒體給出三個數(shù)列，由學生進行判斷：

判斷下面的數(shù)列是否為等差數(shù)列，是等差數(shù)列的找出公差

1、1，2，3，4，5，6，；（√，d = 1）YjS21.CoM

2、0、9，0、7，0、5，0、3，0、1；（√，d = —0、2）

3、0，0，0，0，0，0，、；（√，d = 0）

其中第一個數(shù)列公差>0，第二個數(shù)列公差

由此強調(diào)：公差可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0

在理解等差數(shù)列概念的基礎(chǔ)上提出：

問題3、如果等差數(shù)列的首項是a1，公差是d，如何用首項和公差將an表示出來？

教師活動：為引導學生得出通項公式，我采用討論式的教學方法。讓學生自由分組討論，在學生討論時引導他們得出a10=a1+9d，a40=a1+39d，進而猜想an=a1+（n—1）d。

整個過程由學生完成，通過互相討論的方式既培養(yǎng)了學生的協(xié)作意識又化解了教學難點。

此時指出：這就是不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，為了培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，進而提出：

問題4、怎么樣嚴謹?shù)那蟪龅炔顢?shù)列的通項公式？

利用等差數(shù)列概念啟發(fā)學生寫出n—1個等式。對照已歸納出的通項公式啟發(fā)學生想出將n—1個等式相加，最后證出通項公式。在這里通過該知識點引入迭加法這一數(shù)學思想，逐步達到“注重方法，凸現(xiàn)思想”的教學要求。

接著舉例說明：若一個等差數(shù)列｛an｝的首項是1，公差是2，得出這個數(shù)列的通項公式是：an=1+（n—1）×2，即an=2n—1、以此來鞏固等差數(shù)列通項公式運用，同時要求畫出該數(shù)列圖象，由此說明等差數(shù)列是關(guān)于正整數(shù)n的一次函數(shù)，其圖像是均勻排開的無窮多個孤立點。這一題用函數(shù)的思想來研究數(shù)列，使數(shù)列的性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚。

（三）應用舉例

這一環(huán)節(jié)是使學生通過例題和練習，增強對通項公式的理解及運用，提高解決實際問題的能力。通過例1和例2向?qū)W生表明：要用運動變化的觀點看等差數(shù)列通項公式中的a

1、d、n、an這4個量之間的關(guān)系。當其中的部分量已知時，可根據(jù)該公式求出另一部分量。

例1（1）求等差數(shù)列8，5，2，的第20項；第30項；第40項（2）—401是不是等差數(shù)列—5，—9，—13，的項？如果是，是第幾項？

在第一問中我添加了計算第30項和第40項以加強鞏固等差數(shù)列通項公式；第二問實際上是求正整數(shù)解的問題，而關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an

例2在等差數(shù)列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首項a1與公差d、在前面例1的基礎(chǔ)上將例2當作練習作為對通項公式的鞏固。

例3是一個實際建模問題

某出租車的計價標準為1、2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計費10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費？

這道題我采用啟發(fā)式和討論式相結(jié)合的教學方法。啟發(fā)學生注意“出租車的計價標準為1、2元/km”使學生想到在每個整公里時出租車的車費構(gòu)成等差數(shù)列，引導學生將該實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。

設(shè)置此題的目的：加強學生對“數(shù)學建模”思想的認識。

（四）反饋練習

1、小節(jié)后的練習中的第1題

目的：使學生熟悉通項公式，對學生進行基本技能訓練。

2、小節(jié)后的練習中的第2題

目的：對學生加強建模思想訓練。

3、課本P38例3（備用）

已知數(shù)列{an}的通項公式anpnq，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？它與函數(shù)y=px+q兩者圖象間有什么關(guān)系？

目的：此題是對學生進行數(shù)列問題提高訓練，學習如何用定義解決數(shù)列問題同時強化了等差數(shù)列的概念；進而讓學生從數(shù)（結(jié)構(gòu)特征）與形（圖象）上進一步認識到等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)之間的關(guān)系

（五）歸納小結(jié)

（由學生總結(jié)這節(jié)課的收獲）

1、等差數(shù)列的概念及數(shù)學表達式

強調(diào)關(guān)鍵詞：從第二項開始它的每一項與前一項之差都等于同一常數(shù)

2、等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n—1）d會知三求一

3、用“數(shù)學建?！彼枷敕椒ń鉀Q實際問題

（六）布置作業(yè)

必做題：課本P40習題2、2 A組第1、3、4題

選做題：課本P40習題2、2 B組第1題

課后實踐：

將學生分成三個小組，要求他們分別找出現(xiàn)實生活中公差大于、小于、等于0的典型的等差數(shù)列的模型，在下節(jié)課派代表為我們講解所選的等差數(shù)列。

目的是讓學生主動參與具體的教學實踐，進一步鞏固知識，激發(fā)興趣。

五、結(jié)束

本節(jié)課我根據(jù)高二學生的心理特征及認知規(guī)律，通過一系列問題貫穿教學始終，符合新課標要求的“以教師為主導，學生為主體”的思想，并最終達到預期的教學效果。

我的說課完畢，謝謝！

等差數(shù)列課件 篇10

第三課時? 等差數(shù)列(一) 教學目標： 明確等差數(shù)列的定義，掌握等差數(shù)列的通項公式，會解決知道an,a1,d,n中的三個，求另外一個的問題；培養(yǎng)學生觀察能力，進一步提高學生推理、歸納能力，培養(yǎng)學生的'應用意識. 教學重點： 1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握. 2.等差數(shù)列的通項公式的推導及應用. 教學難點： 等差數(shù)列“等差”特點的理解、把握和應用. 教學過程： Ⅰ.復習回顧 上兩節(jié)課我們共同學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法――通項公式和遞推公式.這兩個公式從不同的角度反映數(shù)列的特點，下面我們看這樣一些例子 Ⅱ.講授新課? 10，8，6，4，2，…； 21，21，22，22，23，23，24，24，25? 2，2，2，2，2，…? 首先，請同學們仔細觀察這些數(shù)列有什么共同的特點?是否可以寫出這些數(shù)列的通項公式？（引導學生積極思考，努力尋求各數(shù)列通項公式，并找出其共同特點） 它們的共同特點是：從第2項起，每一項與它的前一項的“差”都等于同一個常數(shù). 也就是說，這些數(shù)列均具有相鄰兩項之差“相等”的特點.具有這種特點的數(shù)列，我們把它叫做等差數(shù)列. 1.定義 等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示. 2.等差數(shù)列的通項公式 等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得.若一等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得： (n－1)個等式 若將這n－1個等式左右兩邊分別相加，則可得：an－a1＝(n－1)d? 即：an＝a1＋(n－1)d 當n＝1時，等式兩邊均為a1，即上述等式均成立，則對于一切n∈N*時上述公式都成立，所以它可作為數(shù)列{an}的通項公式. 看來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d,便可求得其通項. 由通項公式可類推得：am＝a1＋(m－1)d，即：a1＝am－(m－1)d，則： an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. 如：a5＝a4＋d＝a3＋2d＝a2＋3d＝a1＋4d

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高等數(shù)學課件系列七篇

每個老師都需要在課前準備好自己的教案課件，本學期又到了寫教案課件的時候了。?教師應該在教案課件中充分展示，讓學生理解和掌握知識。我在教育網(wǎng)上找到一篇關(guān)于“高等數(shù)學課件”的文章內(nèi)容很詳盡，希望這些知識能夠?qū)δ阌兴鶐椭?/p>

高等數(shù)學課件 篇1

高等數(shù)學課程是大學數(shù)學課程的一種，通常包括微積分、線性代數(shù)等內(nèi)容。它為學生提供了更深入的數(shù)學知識，為他們在數(shù)學領(lǐng)域的研究和專業(yè)發(fā)展打下了堅實的基礎(chǔ)。以下是關(guān)于高等數(shù)學的主題范文。

一、微積分是高等數(shù)學的重要組成部分，其應用范圍非常廣泛。通過學習微積分，學生可以更深入地理解數(shù)學對于自然科學和工程科學的重要性，以及數(shù)學在經(jīng)濟學和金融學等領(lǐng)域的應用。此外，微積分也是理解人類歷史上最偉大的數(shù)學要素之一，如牛頓與萊布尼茨的發(fā)現(xiàn)和應用。隨著時代的變化和數(shù)學的發(fā)展，現(xiàn)代微積分也經(jīng)歷了很多新的變化和應用，如微分方程和復變函數(shù)。

二、線性代數(shù)是另一個重要的高等數(shù)學領(lǐng)域，它將數(shù)學的概念與實際的科學和工程應用結(jié)合起來。學生學習線性代數(shù)的過程中，他們將會掌握矩陣的基本概念，矩陣方程，向量空間，線性變換，歐幾里得空間等重要概念。線性代數(shù)也是現(xiàn)代計算機科學領(lǐng)域中應用廣泛的領(lǐng)域，因為它對于處理大量復雜和抽象的數(shù)據(jù)有著重要的方法和工具。

三、高等數(shù)學的Calculus（微積分）和Linear Algebra（線性代數(shù)）是現(xiàn)代科學和工程的基礎(chǔ)。這些數(shù)學思想和方法的理解和掌握將使得學生們在科學領(lǐng)域中更加成功。學生不僅要掌握計算技能，更重要的是理解概念和理論的物理和幾何意義。在應用和計算方面，學生還需要熟練掌握數(shù)學軟件和工具，如MATLAB, Maple等。

四、高等數(shù)學教育是大學教育中最重要的組成部分之一，它不僅為自然科學和工程學科的發(fā)展做出了重要貢獻，而且也為其他領(lǐng)域的理論和應用提供了強有力的工具。高等數(shù)學不僅為理解和探究自然界和人類文化提供了基礎(chǔ)，而且還為學生的個人發(fā)展和成就提供了堅實的數(shù)學知識基礎(chǔ)。因此，高等數(shù)學教育的重要性在當今社會中變得越來越明顯，我們應該重視數(shù)學教育，并為學生提供更好的數(shù)學教育資源和機會。

五、高等數(shù)學教育應強調(diào)學生們對數(shù)學知識的理解和應用能力的培養(yǎng)。要實現(xiàn)這一目的，教育者應該采用更多的探究式學習方法和應用例子來讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念的重要性。同時，教育者應該鼓勵學生們利用數(shù)學知識，為社會做出更大的貢獻。

總而言之，高等數(shù)學教育是大學教育的重要組成部分。學生通過學習微積分和線性代數(shù)等數(shù)學知識，將會掌握更深入的數(shù)學理解和應用，從而對自然科學和工程學科的發(fā)展做出更大的貢獻。教育者應該注重學生對數(shù)學知識的理解和應用能力的培養(yǎng)，同時鼓勵學生利用數(shù)學知識為社會創(chuàng)造更大的價值。

高等數(shù)學課件 篇2

高等數(shù)學課件是一種重要的教學資源，能夠幫助學生更好地理解和掌握數(shù)學知識，提高數(shù)學能力。在現(xiàn)代教育中，教育技術(shù)的發(fā)展和應用，使得教師能夠使用多種形式的教學資源，包括課件等。因此，高等數(shù)學課件的編寫和使用已經(jīng)成為了現(xiàn)代高等數(shù)學教學的重要課題。

高等數(shù)學課件的編寫需要考慮到學生的學習需求和教學目標。在編寫課件時，應當根據(jù)課程內(nèi)容、學生的知識水平、教學目標等因素進行分析和設(shè)計，以達到最好的教學效果。由于高等數(shù)學的知識層次較為復雜，因此編寫高等數(shù)學課件時需要充分考慮到學生的認知模式和學習習慣，力求讓學生更好地理解和掌握數(shù)學知識。

高等數(shù)學課件應具備以下幾個方面的要求：

一、準確性。高等數(shù)學知識的準確性是基本要求，因為任何一個錯誤的公式或概念，都會對學生成長和知識的累積產(chǎn)生負面影響。因此在編寫和使用高等數(shù)學課件時，應嚴格控制內(nèi)容的準確性，確保學生能夠掌握正確的知識和技能。

二、清晰性。高等數(shù)學是一門較為抽象的學科，對于學生來說，掌握數(shù)學知識本身就需要花費較大的認知代價。因此，在編寫和使用高等數(shù)學課件時，應力求將知識的概念和原理表達得盡可能清晰和易懂，避免出現(xiàn)模糊或難以理解的語言和表達方式。

三、實用性。高等數(shù)學課件的編寫和使用應力求貼近實際問題和應用情境，幫助學生理解知識的實際應用場景和方法，培養(yǎng)學生的解決實際問題的能力。

四、適用性。高等數(shù)學課件的設(shè)計應當考慮到不同年級、不同層次、不同專業(yè)學生的不同需求，盡可能做到適用性的設(shè)計，以便保持高效和靈活性。

在高等數(shù)學課件的編寫和使用中，應盡可能滿足學生的學習需求和教學目標，強化課程知識的建設(shè)和教學策略的完善，以提高數(shù)學教育的質(zhì)量和水平。同時，高等數(shù)學課件的編寫和使用應在保持教學質(zhì)量和效果的同時，適應教育技術(shù)的不斷創(chuàng)新和進步，推動教學模式和教學流程的優(yōu)化和升華。

高等數(shù)學課件 篇3

高等數(shù)學課件

高等數(shù)學課程對于大多數(shù)理工科學生來說，是必修課程中的一門重要課程。這門課程的學習內(nèi)容極其豐富，包括了微積分、線性代數(shù)、常微分方程等方面的知識。為了幫助學生更好地學習高等數(shù)學課程，課件是一個非常有效的學習工具。

一、高等數(shù)學課程概述

高等數(shù)學課程是大多數(shù)理科學生必修的一門學科，主要包括微積分、線性代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學分析等內(nèi)容，是研究各種現(xiàn)代科學問題所必需的一種重要工具。高等數(shù)學的學習對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、加強數(shù)學思維能力、提高科學研究能力、提高綜合素質(zhì)都具有重要的作用。

二、高等數(shù)學課件設(shè)計

針對高等數(shù)學課程的課件設(shè)計，應該根據(jù)課程大綱進行設(shè)計，使其能夠幫助學生更好地掌握重點難點知識，同時使學生能夠通過課件進行自主學習。以下是高等數(shù)學課件設(shè)計的幾個方面：

1.內(nèi)容分析：對于高等數(shù)學課程的內(nèi)容進行分析，并提取重點難點知識點，為學生學習提供有針對性的指導。

2.教學方法：針對不同的知識點，采用不同的教學方法，如實例分析、問題導向、知識鏈接等。

3.學習工具：為學生提供學習工具，如習題集、在線視頻、強化訓練等，使學生能夠更好地進行練習、鞏固知識點。

4.互動方式：采用互動方式，使學生與教師之間、學生與學生之間能夠進行有效溝通，交流經(jīng)驗，靈活開展學習。

三、高等數(shù)學課件的優(yōu)點

高等數(shù)學課件的優(yōu)點主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

1. 圖像直觀：高等數(shù)學中的許多數(shù)學模型，通過課件能夠通過圖表等形式進行展現(xiàn)，使學生能夠直觀地理解相關(guān)內(nèi)容，加深對概念的理解。

2. 動態(tài)演示：高等數(shù)學涉及到的許多計算過程和公式，通過課件進行動態(tài)演示，使學生能夠更加深入理解相關(guān)內(nèi)容。

3. 學習效率高：通過課件，學生能夠自主選擇學習時間和地點，以及自主選擇學習內(nèi)容，靈活性較大，學習效率能夠得到極大提高。

4. 綜合性強：高等數(shù)學課件能夠?qū)⒉煌鹿?jié)的內(nèi)容連接在一起，形成一個完整的知識體系，使學生能夠更好地進行全面學習。

高等數(shù)學課件的設(shè)計和應用對于學生的自主學習、知識掌握和綜合能力的提升都具有重要意義。針對高等數(shù)學課程的特點和學生的需求，需要有相應的課件設(shè)計方案，能夠滿足學生的學習需要，提高學生的學習效率和課程質(zhì)量。

高等數(shù)學課件 篇4

高等數(shù)學課程是大學數(shù)學教學中的重要組成部分，包含微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等模塊。學生們通過上這門課，能夠系統(tǒng)地學習和掌握高等數(shù)學的基礎(chǔ)理論、方法和技能，為未來的學術(shù)研究和職場實踐打下堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。

一、微積分模塊

微積分是高等數(shù)學的核心內(nèi)容之一，由導數(shù)、微分、積分三部分組成。學生們需要掌握函數(shù)的導數(shù)、極值、凹凸性等概念，了解微分的意義、性質(zhì)和應用，學會積分方法和應用。除此之外，微積分還與其他學科緊密相關(guān)，在物理、工程、計算機等領(lǐng)域都有廣泛應用。

二、線性代數(shù)模塊

線性代數(shù)是研究向量空間、線性變換、矩陣、行列式等數(shù)學對象的學科。它在數(shù)學和工程學科中有廣泛應用，如圖像處理、信號處理、電路設(shè)計、計算機圖形學等。在線性代數(shù)的學習過程中，學生們需要理解向量空間的含義和性質(zhì)，了解線性變換和矩陣的運算規(guī)律，掌握行列式計算和線性方程組的求解等基礎(chǔ)知識和技能。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計模塊

概率論和數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律和統(tǒng)計規(guī)律的學科。概率論研究事件的可能性和發(fā)生規(guī)律，數(shù)理統(tǒng)計研究數(shù)據(jù)的收集、整理和分析。這兩個學科廣泛應用于社會、經(jīng)濟、科學、工程等領(lǐng)域。學生們需要理解基本概率概念和概率公式，掌握概率分布和隨機變量的性質(zhì)，以及數(shù)理統(tǒng)計的基本方法和應用。

四、高等數(shù)學課程的教學方法和教材

高等數(shù)學課程教學方法和教材的選擇對學生的學習效果和興趣培養(yǎng)都有重要影響。一般來說，高等數(shù)學課程的教學應該以理論與實踐相結(jié)合為原則，加強計算和分析能力的訓練，增加實例和案例的引入，激發(fā)學生對數(shù)學學科的興趣。教材要選擇權(quán)威、系統(tǒng)、具有實用價值和啟迪性的作品，如《高等數(shù)學》、《線性代數(shù)及其應用》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》等。

總之，高等數(shù)學課程是大學數(shù)學教育中的重要內(nèi)容，學生們需要全面學習微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等內(nèi)容，掌握數(shù)學基礎(chǔ)理論和方法，為將來的學術(shù)研究和職場實踐打下堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。

高等數(shù)學課件 篇5

高等數(shù)學教案

課程的性質(zhì)與任務

高等數(shù)學是計算機科學與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學習，也是該專業(yè)的核心課程。要使學生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運算；同時要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培訓學生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力。在傳授知識的同時，要著眼于提高學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去解決實際問題的意識、興趣和能力。

第一章：函數(shù)與極限

教學目的與要求

18學時

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。

7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質(zhì)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集。空集?： ??A2、集合的運算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B

全集I、E

補集AC：

集合的并、交、余運算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

對偶律

(A?B)?A?B

(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開區(qū)間

(a,b)閉區(qū)間

?a,b? 半開半閉區(qū)間

?a,b?有限、無限區(qū)間 cccccc?a,b?

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

?

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射 1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對應法則f

2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x)x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對應法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符號函數(shù)

?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線）

?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??

2、函數(shù)的幾種特性

?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(關(guān)于原點、Y軸對稱)

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)

函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對稱

復合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域為D1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算)

5、初等函數(shù)：

?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的

1)冪函數(shù)：y?xa

2)指數(shù)函數(shù)：y?ax

3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

()

y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx

5)反三角函數(shù)

y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

e?e2x?xy?arccot(x)

shx?

chx?xx?x?xe?e2x?x

thx?shxchx?e?ee?e

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx

作業(yè)： 同步練習冊練習一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1）這個序列中的每個數(shù)都編了號。

2）序列中有無限多個成員。一般寫成：a1縮寫為?un?

例 1 數(shù)列??是這樣一個數(shù)列?xn?，其中

?n??1?a2a3a4??an??

xn?也可寫為：

1121n，n?1,2,3,4,5???

131415????

1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：

???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成

limxn?a

n??也可等價表述：

1）???0

2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??

xn?O(a?)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界

定理3：如果limxn?a且a>0(a0，當n>N時，xn?0x??(xn?0)

定理

4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在x0點的極限

1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時，相應的函數(shù)值 f(x)有一個總趨勢-----以某個實數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。

x?x0形式定義為：

???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系

2、x??的極限

設(shè)：y?f(x)x?(??,??)如果當時函數(shù)值 有一個總趨勢------該曲線有一條水平漸近

f(x)?A??

線y?A-----則稱函數(shù)在無限遠點?有極限。記為：limf(x)?A

x??

在無窮遠點?的左右極限：

f(??)?lim關(guān)系為： x???f(x)

f(??)?limf(x)

x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)

x??x???x???

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號性

4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

第四節(jié)：無窮小與無窮大

一、無窮小定義

定義：對一個數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：

1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0

x???的意義；

2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??

3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)?，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號碼n，相應的xn與極限0的距離比這個給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認識。

定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。

二、無窮大定義

一個數(shù)列?xn?，如果成立：

?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。

x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???

x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負無窮大，記成limxn??? x??注：無法區(qū)分正負無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。

三、無窮小和無窮大的關(guān)系

定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則

1f(x)為無窮?。环粗?，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則

1f(x)為無窮大

即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當xn?0時：有

lim?0?limx??1xnx????

lim???limx??1xnx???0

注意是在自變量的同一個變化過程中

第五節(jié)：極限運算法則

1、無窮小的性質(zhì)

設(shè)?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：

limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無窮小量：

limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。

limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0

x??x??（4）?xn?也是無窮小量：

x?x0limxn?0?limxn?0

x?x0（5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。

2、函數(shù)極限的四則運算

1、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0

2、函數(shù)f在點x0有極限，則對任何常數(shù)a成立

lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)

3、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則

lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點x0有極限，并且limg(x)???0，則

x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????

lim?

x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運算成立的條件是若函數(shù)f和g在點x0有極限 例：求下述極限

lim

x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322

4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復合函數(shù)的極限運算法則

定理6 設(shè)函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復合而成，f[g(x)]在點x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當x?u(x0,?0)時，有

g(x)?u0，則

x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準則

兩個重要極限

定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：

x??x??limyn?a

x??

定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。

例：證明：limx?0sinxx?1

例：

limx?0

例：證明：lim(1?x??tanxx

limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1?)x的極限

x??x1x

第七節(jié)：無窮小的比較

定義：若?,?為無窮小

limlim????????0???c?0?c?0?1且

limlimlim

?K??高階、低階、同階、k階、等價?～?

1、若?,?為等價無窮小，則?????(?)

2、若?～?1、?～?1且

lim??11??11存在，則： lim???lim

例：

limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12

第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

一、函數(shù)在一點的連續(xù)性

函數(shù)f在點x0連續(xù)，當且僅當該點的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：

f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)

或者：當且僅當函數(shù)f在點x0有極限且此極限等于該點的函數(shù)值。

limf(x)?f(x0)

其形式定義如下：

x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??

函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時裝意端點。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點)

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點

若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：

1、第一類間斷點：

f(x0?0)?f(x0?0)

即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。、第二類間斷點x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個不存在

例：見教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的四則運算

1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)

x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)

3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)

x?Df是嚴格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。

注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。

?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成

y?f?1(x)x?Df?1

復合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)f和g滿足復合條件?g?Df，若函數(shù)g在點x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點u0連續(xù)，則復合函數(shù)f?g在點x0連續(xù)。

注：復合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：

x?x0limf(g(x))?f(limg(x))

x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運算以及復合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、最大、最小值

設(shè)函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問在值域

D1??yy?f(x),x?D?

中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。

x?D

類似地，如果 Df中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min

二、有界性

x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。

有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。

三、零點、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點?和?，使得

f(?)?f(x)?f(?),亦即

x??a,b?

f(?)?min x??a,b??f(x)?

f(?)?max?f(x)?

x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點

零點定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個端點異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個零點??(a,b)，使f(?)?0

中值定理：

如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個中間值。

作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。

高等數(shù)學課件 篇6

§8? 4 多元復合函數(shù)的求導法則

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數(shù)z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則復合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續(xù)的偏導數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)

?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數(shù)為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數(shù)?

dt

2? 復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則復合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z??z??u??z??v??z??w

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？?z?？

?y?x

提示? ?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z

(2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？?？

?y?x?f?f?f?f

提示? ?z??u?? ?z??u??

?x?u?x?x?y?u?y?y?f這里?z與是不同的? ?z是把復合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x?x?f?f?z偏導數(shù)? 是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數(shù)? 與也朋類似

?y?y?x的區(qū)別?

3．復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點y可導? 函數(shù)z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則復合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z?dv

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

?z

例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和?

?x?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x2?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和?u?

?y?x

?2xex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny?f?f

?u????z

?y?y?z?y

?2yex2?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycoys)ex2?y2?x4si2ny?

例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數(shù)dz?

dt

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導數(shù)? 求及? ?x?z?x

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

?f(u,v)?f(u,v)?????f22??等?

引入記號? f1??? f12? 同理有f2??f11?u?u?v?w??f??u??f??v?f??yzf?

2?

?x?u?x?v?x12?f??f?

?w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f11?f1??f1??u?f1??v?f??f??f????xyf12??? 2?2??u?2??v?f21???xyf22??? ?????f11?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù)? 把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式?

注?

2?2u?

?(1)(?u)2?(?u)2?

(2)?u?x?y?x2?y2解 由直角坐標與極坐標間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應用復合函數(shù)求導法則? 得

???u???ux?uy?u??uysin??co?s???

?u??u?

?x???x???x??????2????????u???uy?ux?u?uco?s?sin?????

?u??u?

????y???y???y??????2??y? x兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導數(shù)? 得

2??(?u)?????(?u)??? ?

u?x2???x?x???x?x??u?)?co??)?sin? s??usins??(?uco?s??usin

?(co????????????????22222?u?usin?co?s?usin??u2sin?co?s?usin?? 2??2?2??

?2cos???????????????2?2同理可得 222222?u?u?usin?co?s?uco?s?u2sin?co?s?ucos?? 2?2sin??2?2??22???????????y??????兩式相加? 得

22222?u?u?u11?u1??u?

2?2?2???22?2[?(?)?u]?

??????2?x?y???????

全微分形式不變性?

設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導數(shù)? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數(shù)的求導法則 一、一個方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

Fdy??x?

?dxFy

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

dy等式兩邊對x求導得 ?F??F??0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得 Fdy??x?

dxFy

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x?0的值?

解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0y?x(?x)dyy?xy?yy2?x2d2y1????????3； ??1?

dx2y2y2y3ydx2x?0

2隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數(shù)? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ?

?y?x因為F z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz?2z

例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 求2?

?x

解

設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4? 222

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數(shù)u?yx?

v??

x2?y2x2?y2y 事實上?

xu?yv?0 ?v?xu?yu?x?xu?1?u?22? ?

yyx?yyv?x?22?2x2?

yx?yx?y

如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導數(shù)？

隱函數(shù)存在定理設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列

?F?(F,G)?u式：

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

FxFvFuFxGGGG?(F,G)?(F,G)

?u??1??xv?

?v??1??ux?

?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv?(F,G)?(F,G)????

?u??1?

?v??1?

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數(shù)的偏導數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續(xù)偏導數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?u?v 偏導數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??v 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?y?x?x?y 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??xyu?xvxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??22? ?v?22?

?xx?y?xx?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?xv?yuxu?yv當x2?y2 ?0時? 解之得?u?22? ?v??22?

?yx?y?yx?y

另解 將兩個方程的兩邊微分得

?udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx

?? 即??

udy?ydu?vd?xxdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvxv?yudx?dy?

x2?y2x2?y dv?yu?xvxu?yvdx?dy?

x2?y2x2?y2xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?x?yx?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)?

又

?(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)

(1)證明方程組

?

y?y(u,v)?在點(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

?F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設(shè)

J??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

?x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數(shù)?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

J?u?xJ?v?x

同理? 可得

?u??1?x?v?1?x

? ?

?yJ?v?yJ?u

§8? 6

多元函數(shù)微分學的幾何應用

一?

空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??x?y?z當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮 x?x0y?y0z?z0

? ???x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

x?1?y?1?z? ?

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydzdxdx?Gx?Gy?Gz?0dxdx?dydz,)? dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數(shù)? 得?dy?1??dz?0?dxdx切向量為T?(1, 解方程組得dyz?xdzx?y??? ? ?dxy?zdxy?zdy?0? dz??1? dxdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

x?1?y?2?z?1

?

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

在點(1? ?2? 1)處?

二? 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)? t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

y?2z?3?法線方程為x?1??

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

x?2?y?1?z?4法線方程為 ?

42?1§8? 7

方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

t

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向?qū)?shù)的計算?

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)

lim?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)sin??

tt?0?這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s??提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何? 提示?

?f?f??

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

?l?x?f?f 沿x軸負向時? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x2y

例1 求函數(shù)z?xe在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(1, ?1)?

22? 因為函數(shù)可微分? 且?z?x所以所求方向?qū)?shù)為

(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??

?z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tco?s)?f(x0,y0,z0)?

t

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因為函數(shù)可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l?3?1?3?2?2?1?1(5?32)?

2222(1,1,2)

二? 梯度

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)co?s?

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向?qū)?shù)

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

?f

討論? 的最大值?

??l

結(jié)論? 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

?z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方?f向的方向?qū)?shù)就等于|grad f(x0? y0)|? 于是

?n?f

grafd(x0,y0)?n?

?n

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與過這點的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

1?

x2?y2 解 這里f(x,y)?212?

x?y 例3 求grad

因為 ?f?f2y??22x22? ??222?

?x?y(x?y)(x?y)2y所以

gra d212??22x22i?222j?

x?y(x?y)(x?y)

例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數(shù)量場與向量場? 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M? 都有一個確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數(shù)量函數(shù)?

利用場的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場??

例5 試求數(shù)量場m所產(chǎn)生的梯度場? 其中常數(shù)m>0?

rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離? ?r??mx?

解 ?(m)??m?xrr2?xr3my同理

?(m)??3? ?(m)??mz? 3?yrr?zrrxi?yj?zk)? 從而

gramd??m(rrr2rr?yzx記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??me?

rrrrr2r

上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點對位于點M而質(zhì)量為l的質(zhì)點的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數(shù)量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數(shù)m稱為引力勢?

r

r§8?8

多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數(shù)在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點? 也有使函數(shù)值為負的點?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數(shù)? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式f(x? y0)這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有fx(x0? y0)?0?類似地可證fy(x0? y0)?0?從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數(shù)? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點?從定理1可知? 具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點? 但函數(shù)的駐點不一定是極值點??例如? 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值??定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A0時有極小值?(2)AC?B20? 則函數(shù)具有極值? 且當fxx0時有極小值?極值的求法?第一步 解方程組fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?求得一切實數(shù)解? 即可得一切駐點?第二步 對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導數(shù)的值A(chǔ)、B和C?第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值??fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?再求出二階偏導數(shù)fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)0? 又A0? y>0}內(nèi)取得? 因為函數(shù)A在D內(nèi)只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省??2?2? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ?2?從這個例子還可看出?在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?解 設(shè)折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(x? ?)?令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為?12?2x?xcos??0??2224co?s?2xco?s?x(co?s?sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0二、條件極值拉格朗日乘數(shù)法對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2??這個問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題??例如上述問題? ?由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?a?2xy? 于是得2(x?y)2V?xy(a?2xy)?2(x?y)只需求V的無條件極值問題?在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有?(x0? y0)?0?假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]?于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有dy?0?dzx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dxdxx?x0即fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0??y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立??y(x0,y0)fy(x0,y0)設(shè)???? 上述必要條件變?yōu)?y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0????(x0,y0)?0拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?其中?為某一常數(shù)?然后解方程組?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0????(x,y)?0由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?解 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件2(xy?yz?xz)?a2下求函數(shù)V?xyz的最大值?構(gòu)成輔助函數(shù)F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?解方程組?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0??z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?6這是唯一可能的極值點?因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3?

高等數(shù)學課件 篇7

-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?

1-----高等數(shù)學教案-----

n2.變速直線運動的路程: 設(shè)速度v?v(t)是時間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區(qū)間[ti?1 , ti]上任取一點?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數(shù)學教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設(shè)y?f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn?1 , xn]，-----高等數(shù)學教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果

lim?f(?i)?xi

??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區(qū)間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上

-----高等數(shù)學教案-----

則稱此極限為f(x)?i點的取法，在[a , b]上的定積分，記為

f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即

b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上

-----高等數(shù)學教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：

①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則

b? af(x)dx?s

(S是曲邊梯

-----高等數(shù)學教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s

(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規(guī)定:

-----高等數(shù)學教案-----

①當a?b時，? af(x)dx?0.a?b

②當時，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質(zhì)：

①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則

b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a

-----高等數(shù)學教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則

b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則

b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設(shè)m?f(x)?M，則

bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)

-----高等數(shù)學教案-----在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點?，使得

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得

m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a

-----高等數(shù)學教案-----

b故在[a , b]上至少存在一點?，使得

b? af(x)dx?f(?)b?a即

b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實數(shù)?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0

-----高等數(shù)學教案-----，所以

12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即

? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習1.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式

1.積分上限的函數(shù)(變上限

-----高等數(shù)學教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱

x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數(shù).2.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，x則?(x)?? af(t)dt可導，且

xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導數(shù).解: F?(x)?xsinx.-----高等數(shù)學教案-----

sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2

x?limx???1?

2-----高等數(shù)學教案-----

?

3.?? ?(x)f(t)dt?

?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd

例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例

15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22

-----高等數(shù)學教案-----例6.設(shè)f(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明:

x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.證: 當x?(a , b)時，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x

f(x)?f(?)?(x?a)

-----高等數(shù)學教案-----

(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而a???x，所以

f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則

b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數(shù)學教案-----

為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以?(x)?F(x)?C.由于

?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得

C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即

?(b)?? af(x)dx

?F(b)?F(a)

?F(x).ba

-----高等數(shù)學教案-----證: 因

?1

1例7.? ?2dx?lnx?2

x?ln1?ln2 ??ln2.?1

例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx

221xx?(x?)0?(?x)22

?1.例9.設(shè)

?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數(shù)學教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數(shù)學教案 6 ,-----

:

2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?

例10.求

x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x

tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法

-----高等數(shù)學教案-----1.定積分的換元法:

b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續(xù)，?(t)有連續(xù)的導數(shù)，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1

3-----高等數(shù)學教案-----例 例

?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12

?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24

-----高等數(shù)學教案-----

sin2tcostdt

2? 例

??2 ? cottdt

4?? ?2(csc2 ?t?1)dt

4?(?cott?t)?2?

4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx

??? ?5 02cosxdcosx

?(?16?6cosx)20

?16.-----高等數(shù)學教案-----

4.例5.? 0x(2?x)dx

12421??? 0(2?x)d(2?x)2

25111

??[(2?x)]0

2531

?.102.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則

a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12

4-----高等數(shù)學教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0

??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所

以

a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx

?2? 0f(x)dx.a3.設(shè)f(x)在[?a , a]上連續(xù)且

a為奇函數(shù)，則

? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2

-----高等數(shù)學教案-----

32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數(shù)，所以

xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數(shù)，1?x

-----高等數(shù)學教案-----以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122

312?[(arctanx)]0

332??()3496例8.設(shè)f(x)在[0 , a]上連續(xù)，-----高等數(shù)學教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:

??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ?f(sinx)dx?

-----高等數(shù)學教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx

? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0

??f(cost)dt

?2 0??f(cosx)dx.?2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?

-----高等數(shù)學教案-----證: ? 0xf(sinx)dx

0 x???t ? ?(??t)f(sint)?

?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt

??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得

.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續(xù)函數(shù)，??xf(sinx)dx?

-----高等數(shù)學教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)

??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得

x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導數(shù)，得

?x ef(x)?1，x x 0?ux

-----高等數(shù)學教案-----即

f(x)?e.4.定積分的分部積分法:

x

? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b

例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx

5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx

x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:

-----高等數(shù)學教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數(shù).a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?

T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx

af(x)dx

x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以

? a a?T 0f(x)dx?

T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx

-----高等數(shù)學教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設(shè)f(x)在(?? , ??)上連續(xù)，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)

bh?0h a證: 設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，則

b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h

-----高等數(shù)學教案-----

ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設(shè)f(x)在[a , ??)上連續(xù)，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且

??t

? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.??

-----高等數(shù)學教案-----②設(shè)f(x)在(?? , b]上連續(xù)，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且

b

???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續(xù)，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且

b

-----高等數(shù)學教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發(fā)散.2.引入記號:

??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，??? af(x)dx?F(??)?F(a)

?[F(x)].??a

-----高等數(shù)學教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，b???f(x)dx?F(b)?F(??)

?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當F(??)與F(??)都存在時，?????f(x)dx?F(??)?F(??)

?[F(x)].????例1.判斷反常積分

???x? 0xedx

2-----高等數(shù)學教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11

?xlim(?e)? ???221 ?.2

例2.判斷反常積分

?1? ??cosxdx

22的斂散性.解: 原式?(sinx)

?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???

-----高等數(shù)學教案-----常積分? ??cosxdx發(fā)散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1

-----高等數(shù)學教案-----

??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當???1時發(fā)散.例4.判斷反常積分

? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx

-----高等數(shù)學教案-----

?1所以反常積分時收斂，當 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0

????

22??.? 1 ??

例5.判斷反常積分

1dx

2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1

-----高等數(shù)學教案-----

??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么稱點a為f(x)的瑕點.4.無界函數(shù)的反常積分(瑕積分): ①設(shè)f(x)在(a , b]上連續(xù)，點a為f(x)的瑕點，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?

-----高等數(shù)學教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.②設(shè)f(x)在[a , b)上連續(xù)，點b為f(x)的瑕點，t?b.如果

blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b

? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.③設(shè)f(x)在[a , b]上除點c(a?c?b)外連續(xù)，點c為f(x)的 b

-----高等數(shù)學教案-----瑕點.如果兩個反常積分

b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則

b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.5.引入記號: ①設(shè)F(x)為f(x)在(a , b]上的一個原函數(shù)，a為f(x)的瑕點，則

b? af(x)dx?F(b)?limF(x)

x?a??[F(x)].ba

-----高等數(shù)學教案-----②設(shè)F(x)為f(x)在[a , b)上的一個原函數(shù)，b為f(x)的瑕點，則

b? af(x)dx?limF(x)?F(a)

x?b??[F(x)].ba

例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x

x ?0?10??1.-----高等數(shù)學教案-----

1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx

?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1

??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)

-----高等數(shù)學教案-----

??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當??1x時收斂，當??1時發(fā)散.11

例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx

xx 1

-----高等數(shù)學教案-----

高等代數(shù)課件(匯編三篇)

高等代數(shù)課件 篇1

一、將三門基礎(chǔ)2113課作為一個整體去學，摒棄孤立5261的學習，提倡綜合4102的思考

恩格斯曾經(jīng)說1653過：“數(shù)學是研究數(shù)和形的科學?！边@位先哲對數(shù)學的這一概括，從現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展來看，已經(jīng)遠遠不夠準確了，但這一概括卻點明了數(shù)學最本質(zhì)的研究對象，即為“數(shù)”與“形”。比如說，從“數(shù)”的研究衍生出數(shù)論、代數(shù)、函數(shù)、方程等數(shù)學分支;從“形”的研究衍生出幾何、拓撲等數(shù)學分支。20世紀以來，這些傳統(tǒng)的數(shù)學分支相互滲透、相互交叉，形成了現(xiàn)代數(shù)學最前沿的研究方向，比如說，代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何、代數(shù)拓撲、微分拓撲等等。可以說，現(xiàn)代數(shù)學正朝著各種數(shù)學分支相互融合的方向繼續(xù)蓬勃地發(fā)展下去。

數(shù)學分析、高等代數(shù)、空間解析幾何這三門基礎(chǔ)課，恰好是數(shù)學最重要的三個分支--分析、代數(shù)、幾何的最重要的基礎(chǔ)課程。根據(jù)課程的特點，每門課程的學習方法當然各不相同，但是如果不能以一種整體的眼光去學習和思考，即使每門課都得了A，也不見得就學的很好。學院的資深教授曾向我們抱怨：“有的問題只要畫個圖，想一想就做出來了，怎么現(xiàn)在的學生做題，拿來就只知道死算，連個圖也不畫一下?！碑斎唬斐蛇@種不足的原因肯定是多方面的。比如說，從教的角度來看，各門課程的教材或授課在某種程度上過于強調(diào)自身的特點，很少以整體的眼光去講授課程或處理問題，課程之間的相互聯(lián)系也涉及的較少;從學的角度來看，學生們大都處于孤立學習的狀態(tài)，也就是說，孤立在某門課程中學習這門課程，缺乏對多門課程的整體把握和綜合思考。

根據(jù)我的經(jīng)驗，將高等代數(shù)和空間解析幾何作為一個整體去學，效果肯定比單獨學好，因為高等代數(shù)中最核心的概念是“線性空間”，這是一個幾何對象;而且高等代數(shù)中的很多內(nèi)容都是空間解析幾何自然的延續(xù)和推廣。另外，高等代數(shù)中還有很多分析方面的技巧，比如說“攝動法”，它是一種分析的方法，可以讓我們把問題從一般矩陣化到非異矩陣的情形。因此，要學好高等代數(shù)，首先要跳出高等代數(shù)，將三門基礎(chǔ)課作為一個整體去學，摒棄孤立的學習，提倡綜合的思考。

二、正確認識代數(shù)學的特點，在抽象和具體之間找到結(jié)合點

代數(shù)學(包括高等代數(shù)和抽象代數(shù))給人的印象就是“抽象”，這與另外兩門基礎(chǔ)課有很大的不同。以“線性空間”的定義為例，集合V上定義了加法和數(shù)乘兩種運算，并且這兩種運算滿足八條性質(zhì)，那么V就稱為線性空間。我想第一次學高等代數(shù)的同學都會認為這個定義太抽象了。其實在高等代數(shù)中，這樣抽象的定義比比皆是。不過這樣的抽象是有意義的，因為我們可以驗證三維歐氏空間、連續(xù)函數(shù)全體、多項式全體、矩陣全體都是線性空間，也就是說，線性空間是從許多具體例子中抽象出來的概念，具有絕對的一般性。代數(shù)學的研究方法是，從許多具體的例子中抽象出某個概念;然后通過代數(shù)的方法對這一概念進行研究，得到一般的結(jié)論;最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運用。因此，“具體--抽象--具體”，這便是代數(shù)學的特點。

在認識了代數(shù)學的特點后，就可以有的放矢地學習高等代數(shù)了。我們可以通過具體的例子去理解抽象的定義和證明;我們可以將定理的結(jié)論運用到具體的例子中，從而加深對定理的理解和掌握;我們還可以通過具體例子的啟發(fā)，去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。因此，要學好高等代數(shù)，就需要正確認識抽象和具體的辯證關(guān)系，在抽象和具體之間找到結(jié)合點。

三、高等代數(shù)不僅要學代數(shù)，也要學幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁

隨著時代的變遷，高等代數(shù)的教學內(nèi)容和方式也在不斷的發(fā)展。大概在90年代之前，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材大多以“矩陣論”作為中心，比較強調(diào)矩陣論的相關(guān)技巧;90年代之后，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材漸漸地改變?yōu)橐浴熬€性空間理論”作為中心，比較強調(diào)幾何的意義。作為縮影，復旦的高等代數(shù)教材也經(jīng)歷了這樣一個變化過程，1993年之前采用的屠伯塤老師的教材強調(diào)“矩陣論”;1993年之后采用的姚慕生老師的教材強調(diào)“線性空間理論”。從單純重視“代數(shù)”到“代數(shù)”與“幾何”并重，這其實是高等代數(shù)教學觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展密切相關(guān)吧!

學好高等代數(shù)的有效方法應該是：

深入理解幾何意義、熟練掌握代數(shù)方法。

其次，高等代數(shù)中很多問題都是幾何的問題，我們經(jīng)常將幾何的問題代數(shù)化，然后用代數(shù)的方法去解決它。當然，對于一些代數(shù)的問題，我們有時也將其幾何化，然后用幾何的方法去解決它。

最后，代數(shù)和幾何之間存在一座橋梁，這就是代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換語言。有了這座橋梁，我們就可以在代數(shù)和幾何之間來去自由、游刃有余。因此，要學好高等代數(shù)，不僅要學代數(shù)，也要學幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁。

四、學好教材，用好教參，練好基本功

復旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教材是姚慕生老師、吳泉水老師編著的《高等代數(shù)學(第二版)》。這本教材從1993年開始沿用至今，已有近20年的歷史。教材內(nèi)容翔實、重點突出、表述清晰、習題豐富，即使與全國各高校的高等代數(shù)教材相比，也不失為出類拔萃之作。

復旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教學參考書是姚慕生老師編著的《高等代數(shù)學習方法指導(第二版)》(因為封面為白色，俗稱“白皮書”)。這本教參書是數(shù)院本科生必備的寶典，基本上人手一冊，風行程度可見一斑。

要學好高等代數(shù)，學好教材是最低的要求。另外，如何用好教參書，也是一個重要的環(huán)節(jié)。很多同學購買教參書，主要是因為教材里的部分作業(yè)(包括一些很難的證明題)都可以在教參書上找到答案。當然，這一點無可厚非，畢竟這就是教參書的功能嘛!但是，我還是希望一年級的新生能正確地使用教參書，遇到問題首先自己獨立思考，實在想不出，再去看懂教參書上的解答，這樣才能達到提高能力、鍛煉思維的效果。注意：既不獨立思考，又不看懂教參書上的解答，只是抄襲，這對自己來說是一種極不負責的行為，希望大家努力避免!

最后，我愿以華羅庚先生的一句詩“勤能補拙是良訓，一份辛勤一份才”與大家共勉，祝大家不斷進步、學業(yè)有成!

高等代數(shù)課件 篇2

通過聽了馮家樂老師的講座，使我更加深刻的認識到“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容在小學階段的數(shù)學課程中所占的重要地位和重要的教育價值。在實施新課程改革的前景下，小學階段“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容無論是從內(nèi)容的取材上還是從結(jié)構(gòu)的編排上都比較貼近實際生活，為更好的培養(yǎng)學生的數(shù)感打下了堅實的基礎(chǔ)。

下面我就談談對這次學習的心得體會：

一、為什么要整體把握數(shù)學教材。

首先，數(shù)學知識是一個系統(tǒng)整體。要說明這個問題首先要考慮數(shù)學的本質(zhì)是什么，或者說“什么是數(shù)學”？在課程標準的總體目標中提出的數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經(jīng)驗）是否可以簡單的這樣表述：數(shù)學知識是“數(shù)與形以及演繹”的知識。由此可以看出，作為數(shù)學學習目標之一的數(shù)學知識它應該是一個完整的整體，是“數(shù)與形以及演繹”的知識整體，整體的知識一定是結(jié)構(gòu)的，是互相聯(lián)系的。結(jié)構(gòu)的知識一定是要系統(tǒng)整體學習才能掌握，只有系統(tǒng)整體的掌握才可能使得學生在學習知識的過程中發(fā)展智能。

二、數(shù)學學習是整體的認知過程。

既然數(shù)學知識是一個系統(tǒng)的整體，那么數(shù)學教學應強調(diào)整體聯(lián)系，以培養(yǎng)學生對數(shù)學聯(lián)系的理解。當學生開始把數(shù)學看成一個緊密聯(lián)系的整體時，他們應被鼓勵尋找聯(lián)系以幫助他們理解和解決問題。學生應問自己：“我可以換一種方式看這個問題嗎?”、“這個情景與我以前遇到的類似嗎?”。如果遇到的是用代數(shù)表示的，他們應考慮用幾何表示它，這樣可以加深理解或有助于他們找到解決策略。同時，數(shù)學學習不是單純的知識的接受，而是以學生為主體的數(shù)學活動?，F(xiàn)代認知科學，尤其是建構(gòu)主義學習理論強調(diào)，“知識是不能被傳遞的，教師在課堂上傳遞的只是信息，知識必須通過學生主動建構(gòu)才能獲得”。學習就是一個不斷打破原有的認知結(jié)構(gòu)平衡發(fā)生同化或順應組建新的認知結(jié)構(gòu)達到新的平衡的過程。學生的數(shù)學學習也可以看成是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成學生認知結(jié)構(gòu)的過程。

三、數(shù)學教材內(nèi)容和數(shù)學教學應該是系統(tǒng)整體的。

數(shù)學教材是根據(jù)《教學大綱》以及《數(shù)學課程標準》所規(guī)定的知識內(nèi)容和要求來編寫成的，它反映出黨和國家對于學生學習該學科知識時所要求的深度和廣度。教材的內(nèi)容是教師進行教學的依據(jù)，也是學生學習的主要材料。既然數(shù)學和數(shù)學知識是一個整體，數(shù)學學習也是整體的，那么對于教材的編寫和把握也應該是整體的，聯(lián)系的。教材中的每一個例題就像一個神經(jīng)細胞，當神經(jīng)細胞串連考慮周到來時就能發(fā)揮出強大的功能。教學教材中的各個例題之間存在著相輔相成的關(guān)系，它們的互相融合成就了一種數(shù)學思想。

同時結(jié)合教材內(nèi)容蘊涵人文內(nèi)涵。教師要把握例題之間本質(zhì)的聯(lián)系，站在一個較高的層次上用現(xiàn)代數(shù)學的觀念去審視和處理教材，向?qū)W生傳遞一個完整的數(shù)學思想，幫助學生建立一個融會貫通的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。如果把知識切割成一塊又一塊，各說各的，碰到這道題這樣做，沒碰到過的就不會做，就容易使學生陷入背數(shù)學的一種痛苦的環(huán)境中。所以說教師整體把握教材、駕馭教材對教學有著至關(guān)重要的影響。

總之，此次培訓活動，使自己的教育教學觀念、教學行為方法、專業(yè)化水平，教育教學理論均有了很大的提升。今后，自己充分將所學、所悟、所感的內(nèi)容應用到教學實踐中去。

高等代數(shù)課件 篇3

在如今這個科學飛速發(fā)展，信息高速發(fā)達，知識爆炸的新時代，現(xiàn)代社會的發(fā)展對人才培養(yǎng)提出了更高的要求，也引發(fā)了數(shù)學教學任務和性質(zhì)的根本變革。通過這學期對現(xiàn)代數(shù)學與中學教學課程的學習，我不僅對中學的課程內(nèi)容有了更深刻的理解，對中學教學方法有了更進一步改進，還更新了舊的教學觀念和教學思想，相信這些都是對我今后成長為一個好老師的寶貴指導思想。

在課堂上，我們老師會把班里的同學分成幾個組，然后大家會先一起探討高中書本上的一些疑難點，引導我們站在更高的知識層面上來分析高中課本。在這個過程中，我們每個人都能發(fā)表自己意見，在不同意見的交流融合中，會有很多在教學內(nèi)容上的奇思妙想。就比如說老師在課堂上曾經(jīng)讓我們探討過這樣的一個問題：是否任意一個已知有限項數(shù)列都有其通項公式，這個通項公式又是否唯一的？剛開始同學都是嘗試舉反面例子來進行例證如1，0，—1，0，……，它的通項公式：當n=4k—1，Bn=—1；n=4k+1時，Bn=1；其他情況，Bn=0；但除此之外我們也可以用余弦函數(shù)或正弦函數(shù)表示，由此猜想數(shù)列通項公式是不唯一的。這就為接下來的引理論證做了鋪墊。最后通過縝密的邏輯可以論證猜想成立，原來我們是可以通過有限數(shù)列構(gòu)造出表達式為 一元多項式的通項公式。這個探討的過程讓我認識到了高等數(shù)學課程在知識上是中學數(shù)學的繼續(xù)和提高，在思想方法上是中學數(shù)學的因襲和擴張，在觀念上是中學數(shù)學的深化和發(fā)展，讓我深刻的感悟到了數(shù)學的魅力和神奇。下面是一些我對本課程的一些心得體會。

首先我認為：現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學在知識聯(lián)系上是非常緊密的。初等數(shù)學是對特例、常量的研究，而高等數(shù)學是對變量的研究，所以中學數(shù)學的知識從某一程度上可以理解為高等數(shù)學的特例?？梢钥吹浆F(xiàn)代數(shù)學和初等數(shù)學在很多知識點方面都存在著聯(lián)系：第一，中學代數(shù)給出了多項式因式分解的常用方法，高等代數(shù)首先用不可約多項式的嚴格定義解釋了不可再分的含義，接著給出了不可約多項式的性質(zhì)、因式分解定理及不可約多項式在三種數(shù)域上的判定；

第二，中學代數(shù)講二元一次、三元一次方程組的消元解法，高等代數(shù)講線性方程組的行列式解法，矩陣消元解法，講線性方程組解的判定及解與解之間的關(guān)系；此外，我認為現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學具有思想上的統(tǒng)一性。眾所周知“數(shù)學是思維的體操”，小學從具體事物的數(shù)量中抽象出數(shù)字，開創(chuàng)了算術(shù)運算的時期；中學用字母表示數(shù)，開創(chuàng)了在一般形式下研究數(shù)式方程的時期；大學所學的高等代數(shù)用字母表示多項式矩陣，開始研究具體的代數(shù)系統(tǒng)，進而又用字母表示滿足一定公理體系的抽象元素，開始研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)。向量空間、歐氏空間，這些都隨著概念抽象化程度得不斷地提高，數(shù)學研究的對象急劇擴大。從中學數(shù)學到現(xiàn)代數(shù)學的學習，需要學生掌握的不只是一個個知識點，更多的是數(shù)學思想方法：轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想等。高等代數(shù)與中學數(shù)學雖然在知識深度上有較大差昇，但課程所體現(xiàn)的數(shù)學思想方法卻是一脈相承的。

總而言之，這一個學期的學習讓我明白了：現(xiàn)代數(shù)學可以解決中學數(shù)學無法解答的問題，它有助于初等數(shù)學和高等數(shù)學的融會貫通，建立數(shù)學還緝性思維的思考方式。數(shù)學思想和數(shù)學方法是人類思維的結(jié)晶，它們支配者數(shù)學的實踐活動，因此在今后的教學之路上，我不僅要做好知識的教導者，激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣，更要幫助學生們建立正確的數(shù)學思想和數(shù)學方法，為他們今后在數(shù)學求知路上的進一步飛躍奠定堅實的知識基礎(chǔ)。

數(shù)列的課件(系列15篇)

每個老師都需要在課前準備好自己的教案課件，本學期又到了寫教案課件的時候了。寫好教案，才能讓課堂教學更完整，怎樣的教案課件算為優(yōu)秀？這份特別挑選的“數(shù)列的課件”一定值得您一試，請收藏這個網(wǎng)頁方便你下次再來查看！

數(shù)列的課件(篇1)

教學準備

教學目標

知識目標：使學生掌握等比數(shù)列的定義及通項公式，發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的一些簡單性質(zhì)，并能運用定義及通項公式解決一些實際問題。

能力目標：培養(yǎng)運用歸納類比的方法發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力及運用方程的思想的計算能力。

德育目標：培養(yǎng)積極動腦的學習作風，在數(shù)學觀念上增強應用意識，在個性品質(zhì)上培養(yǎng)學習興趣。

教學重難點

本節(jié)的重點是等比數(shù)列的定義、通項公式及其簡單應用，其解決辦法是歸納、類比。

本節(jié)難點是對等比數(shù)列定義及通項公式的深刻理解，突破難點的關(guān)鍵在于緊扣定義，另外，靈活應用定義、公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題也是一個難點。

教學過程

二、教法與學法分析

為了突出重點、突破難點，本節(jié)課主要采用觀察、分析、類比、歸納的方法，讓學生參與學習，將學生置于主體位置，發(fā)揮學生的主觀能動性，將知識的形成過程轉(zhuǎn)化為學生親自探索類比歸納的過程，使學生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感。在這個過程中，力求把握好以下幾點：

①通過實例，讓學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律。讓學生在問題情景中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，力求使學生學會用類比的思想去看待問題。②營造民主的教學氛圍，把握好師生的情感交流，使學生參與教學全過程，讓學生唱主角，老師任導演。③力求反饋的全面性、及時性。通過精心設(shè)計的提問，讓學生思維動起來，針對學生回答的問題，老師進行適當?shù)恼{(diào)控。④給學生思考的時間和空間，不急于把結(jié)果拋給學生，讓學生自己去觀察、分析、類比得出結(jié)果，老師點評，逐步養(yǎng)成科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度，提高學生的推理能力。⑤以啟迪思維為核心，啟發(fā)有度，留有余地，導而弗牽，牽而弗達。這樣做增加了學生的參與機會，增強學生的參與意識，教給學生獲取知識的途徑和思考問題的方法，使學生真正成為教學的主體，使學生學會學習，提高學生學習的興趣和能力。

三、教學程序設(shè)計

(4)等差中項：如果a 、 A 、 b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。

說明：通過復習等差數(shù)列的相關(guān)知識，類比學習本節(jié)課的內(nèi)容，用熟知的等差數(shù)列內(nèi)容來分散本節(jié)課的難點。

2.導入新課

本章引言中關(guān)于在國際象棋棋盤各格子里放麥粒的問題中，各個格子的麥粒數(shù)依次是:

1 , 2 , 4 , 8 , … , 263

再來看兩個數(shù)列：

5 ， 25 ，125 ， 625 ， ...

···

說明：引導學生通過“觀察、分析、歸納”，類比等差數(shù)列的定義得出等比數(shù)列的定義，為進一步理解定義，給出下面的問題：

判定以下數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是寫出公比q，若不是，說出理由，然后回答下面問題。

-1 , -2 , -4 , -8 …

-1 , 2 , -4 , 8 …

-1 , -1 , -1 , -1 …

1 , 0 , 1 , 0 …

提出問題：(1)公比q能否為零?為什么?首項a1呢?

(2)公比q=1時是什么數(shù)列?

(3)q>0是遞增數(shù)列嗎?q

說明：通過師生問答，充分調(diào)動學生學習的主動性及學習熱情，活躍課堂氣氛，同時培養(yǎng)學生的口頭表達能力和臨場應變能力。另外通過趣味性的問題，來提高學生的學習興趣。激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的定義及其通項公式的強烈欲望。

3.嘗試推導通項公式

讓學生回顧等差數(shù)列通項公式的推導過程，引導推出等比數(shù)列的通項公式。

推導方法：疊乘法。

說明：學生從方法一中學會從特殊到一般的方法，并從次數(shù)中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以培養(yǎng)學生的觀察能力;另外回憶等差數(shù)列的特點，并類比到等比數(shù)列中來，培養(yǎng)學生的類比能力及將新知識轉(zhuǎn)化到舊知識的能力。方法二是讓學生掌握“疊乘”的思路。

4.探索等比數(shù)列的圖像

等差數(shù)列的圖像可以看成是直線上一群孤立的點構(gòu)成的，觀察等比數(shù)列的通項公式，你能得出什么結(jié)果?它的圖像如何?

變式2.等比數(shù)列{an}中，a2 = 2 , a9 = 32 , 求q.

(學生自己動手解答。)

說明：例1的目的是讓學生熟悉公式并應用于實際，例2及變式是讓學生明白，公式中a1 ,q,n,an四個量中，知道任意三個即可求另一個。并從這些題中掌握等比數(shù)列運算中常規(guī)的消元方法。

6.探索等比數(shù)列的性質(zhì)

類比等差數(shù)列的性質(zhì)，猜測等比數(shù)列的性質(zhì)，然后引導推證。

7.性質(zhì)應用

例3.在等比數(shù)列{an}中，a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15

(讓學生自己動手，尋求多種解題方法。)

方法一：由題意列方程組解得

方法二：利用性質(zhì)2

方法三：利用性質(zhì)3

例4(見教材例3)已知數(shù)列{an}、{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，求證:{an·bn}是等比數(shù)列。

8.小結(jié)

為了讓學生將獲得的知識進一步條理化，系統(tǒng)化，同時培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力及練習后進行再認識的能力，教師引導學生對本節(jié)課進行總結(jié)。

1、等比數(shù)列的定義，怎樣判斷一個數(shù)列是否是等比數(shù)列

2、等比數(shù)列的通項公式，每個字母代表的含義。

3、等比數(shù)列應注意那些問題(a1≠0,q≠0)

4、等比數(shù)列的圖像

5、通項公式的應用 (知三求一)

6、等比數(shù)列的性質(zhì)

7、等比數(shù)列的概念(注意兩點①同號兩數(shù)才有等比中項

②等比中項有兩個，他們互為相反數(shù))

8、本節(jié)課采用的主要思想

——類比思想

9.布置作業(yè)

習題3.4 1②、④ 3. 8. 9.

10.板書設(shè)計

數(shù)列的課件(篇2)

分總文段一般有明顯特點，尾句或者結(jié)尾出現(xiàn)明顯的提示詞：總之、可見、可得、總而言之、綜上所述、從這個意義上講等，總結(jié)句之后，就很可能是文段的主旨。一般分總文段，經(jīng)?？嫉降男形挠校悍治稣撌?得出結(jié)論、提出問題-解決問題。因而，對于分總文段，我們可以結(jié)合標志詞和行文，重點關(guān)注尾句。

【例1】汪曾祺曾說語言不是外部的東西，它是和內(nèi)在的思想同時存在，不可剝離的。在他看來寫小說就是寫語言，語文課學的是語言，但語言不是空殼，而是要承載各種各樣的思想、哲學、倫理、道德的。怎么做人，如何對待父母兄弟姐妹，如何對待朋友，如何對待民族、國家和自己的勞動等，這些在語文課里是與語言并存的。從這個意義來講，語文教育必須吸收和繼承傳統(tǒng)文化，而詩歌無疑是傳統(tǒng)文化的集大成者。

這段文字意在說明：

a.詩歌中包含豐富的思想、倫理和道德元素。

b.脫離內(nèi)在思想的語文教育是空洞無物的。

c.必須重視詩歌在語文教育中的作用。

d.語文教育需要和思想品德教育同步進行。

【答案】c。解析：文段首先指出汪曾祺認為語言與內(nèi)在思想同時存在不可剝離;接著對此進行了具體闡釋，指出語文課學的不僅是語言，還有如何為人處世;最后由“從這個意義來講”作總結(jié)，指出語文教育必須重視吸收和繼承傳統(tǒng)文化，尤其是詩歌這個傳統(tǒng)文化的集大成者?？梢?，文段最后落腳在語文教育必須重視詩歌，c項表述與此相符，當選。

【例2】外科手術(shù)和放、化療對癌癥治療的效果可以肯定，但不滿意。由于存在對自身的損傷，加劇了正不勝邪的矛盾，給癌細胞復活繁殖以可乘之機，一旦復活，卷土重來，而自身正氣削弱殆盡，無力抵擋，導致復發(fā)率高，存活率低的結(jié)果。若能與中醫(yī)在理、法、方、藥實際內(nèi)涵上切實融合，杜絕形式上的湊合，定能彌補這種不滿意，使正不勝邪轉(zhuǎn)化為邪不勝正，則可望獲得圓滿結(jié)果。

這段文字意在說明：

a.癌癥有著復發(fā)率高、存活率低的特點。

b.中醫(yī)可能會對癌癥的治療起到意想不到的效果。

c.外科手術(shù)等西醫(yī)的方法并不能從根本上治療癌癥。

d.運用中西醫(yī)結(jié)合的方法可能會從根本上治愈癌癥。

【答案】d。解析：文段首先介紹了西醫(yī)治療癌癥的弊端，接著指出若能把中西醫(yī)切實融合起來，彌補西醫(yī)的欠缺，則可能產(chǎn)生良好的治療效果。由此可知，文段強調(diào)的是運用中西醫(yī)結(jié)合方法治療癌癥。d項表述與此相符，當選。a項為問題論述部分。b項文段沒有涉及。c項“不能從根本上治療癌癥”說法過于絕對。故本題選d。

數(shù)列的課件(篇3)

高中數(shù)列，有規(guī)律可循的類型無非就是兩者，等差數(shù)列和等比數(shù)列，這兩者的題目還是比較簡單的，要把公式牢記住，求和，求項也都是比較簡單的，公式的運用要熟悉。

題目常常不會如此簡單容易，稍微加難一點的題目就是等差和等比數(shù)列的一些組合題，這里要采用的一些方法有錯位相消法。

題目變化多端，往往出現(xiàn)的壓軸題都是一些從來沒有接觸過的一些通項，有些甚至連通項也不給。針對這兩類，我認為應該積累以下的一些方法。

對于求和一類的題目，可以用柯西不等式，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列再求和，分母的放縮，數(shù)學歸納法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)等方法等方法

對于求通項一類的題目，可以采用先代入求值找規(guī)律，再數(shù)學歸納法驗證，或是用累加法，累乘法都可以。

總之，每次碰到一道陌生的數(shù)列題，要進行總結(jié)，得出該類的解題方法，或者從中學會一種放縮方法，這對于以后很有幫

1、調(diào)動興趣是關(guān)鍵：因為我喜歡數(shù)學，所以我愿意去學它，所以我在學習過程中遇到任何艱難險阻也愿意去克服;克服困難所得來的成功體驗又增強了我學習的興趣和信心，所以我更喜歡學數(shù)學了。

2、化抽象為生動：比如在講例題的時候，結(jié)合題目給學生講一些順口溜、數(shù)學故事、數(shù)學發(fā)展史、生活中的數(shù)學等。讓學生感到數(shù)學就在身邊。比如華羅庚的數(shù)形結(jié)合順口溜“數(shù)與形，本相依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時，難直覺;形缺數(shù)時，難入微。代數(shù)幾何本一體，永遠聯(lián)系莫分離?！鄙钪械臄?shù)學包括身邊的事、新聞時事等，比如：讓學生適度參與現(xiàn)在很多父母都熱衷的股票問題;自己家里每月消費多少米，多少油，多少鹽等，人均消費多少;今年淮河流域出現(xiàn)洪災，泄洪時就需要考慮上游水位和下游河道寬的關(guān)系等等。

3、化抽象為形象：現(xiàn)在的學生大都對電腦感興趣，如果從這一點入手引導學生學數(shù)學，是個很好的辦法。鄭州一所重點中學的劉老師用幾何畫板讓學生形象直觀的體會數(shù)學知識，學生在學幾何畫板的同時，學數(shù)學的積極性也被調(diào)動起來了。

4、成功體驗的積累：興趣與成就感往往有很大關(guān)系。每個孩子都有想成為研究者、發(fā)現(xiàn)者的內(nèi)在愿望，都有被認同和賞識的需要，都希望取得成就和進步。教育者應該善于發(fā)現(xiàn)學生的一點點進步，給不同學生提不同的要求，讓他們有機會成功，體會成功時的成就感。

5、營造學數(shù)學的環(huán)境：比如家里的書架上可以放一些數(shù)學相關(guān)的書籍如《速算秘訣》《中學生數(shù)理化》《好玩的數(shù)學系列》《訓練思考能力的數(shù)學書》《故事中的數(shù)學》等，并推薦孩子閱讀。學校里也可以營造這樣的氛圍。有位老師說：“我每天課間時間都會坐在教室門口，拿起一本書來看?？倳袔讉€學生來問我看的是什么書，一問一答之間他們就對我手里的書感興趣了。幾天后我就會發(fā)現(xiàn)，有一兩個學生帶頭借了這本書。再過一陣子，這本書就風靡全班了?！?/p>

6、打牢基礎(chǔ)也可以通過做題來實現(xiàn)，這跟題海戰(zhàn)術(shù)不同，有的學生可能做兩道題就弄懂了，那他就不需要再做，有的學生可能需要做20道題，總之，為了達到最好的理解和記憶效果，讓學生自己理解知識點之后，再多做1-2道題，達到150%的理解和記憶效果。

數(shù)列的課件(篇4)

教學目標

熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應用儀式。

教學重難點

熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應用儀式。

教學過程

【復習要求】熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提高學生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應用儀式。

【方法規(guī)律】應用數(shù)列知識界實際應用問題的關(guān)鍵是通過對實際問題的綜合分析，確定其數(shù)學模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并確定其首項，公差或公比等基本元素，然后設(shè)計合理的計算方案，即數(shù)學建模是解答數(shù)列應用題的關(guān)鍵。

一、基礎(chǔ)訓練

1、某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘x一次一個x為兩個，經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成

A、511B、512C、1023D、1024

2、若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長率為p，則年平均增長率為

A、B、

C、D、

二、典型例題

例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，問到第n期期末的本金和是多少？

評析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取。計算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求和的`方法。用實際問題列出就是：本利和=每期存入的金額[存期+1/2存期存期+1利率]

例2：某人從1999到20xx年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元？

例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進行長期頑強的斗爭，到1999年底全地區(qū)的綠化率已達到30%，從20xx年開始，每年將出現(xiàn)以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬柦?jīng)過多少年的努力才能使全縣的綠洲面積超過60%。lg2=0.3

例4、流行性感冒簡稱流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。

數(shù)列的課件(篇5)

1.能正確計算有關(guān)0的加減法。

2..培養(yǎng)學生良好的書寫習慣和想像能力。重點難點。

弄懂有關(guān)0的加減法計算的算理并能正確計算有關(guān)0的加減法。教學準備課件，口算卡片教學過程：

3-3=0表示什么意思？（窩里原來有3只小鳥，飛走了3只，窩里現(xiàn)在一只也沒有了，用0表示）。

先讓學生觀察，說圖意，老師引導：

左邊荷葉上有幾只青蛙，右邊荷葉上有幾只？兩片荷葉上一共有幾只？用什么方法計算，怎樣列式？教師一一板書：4+0=4（4）想一想：5-0=0+0=先說算式的含義，再說得數(shù)。課堂小結(jié)：

提問：今天，我們學習了什么？你有什么收獲？

小結(jié)：今天，我們認識了0，知道0表示什么也沒有，還表示起點，并且學會了0的正確寫法。還會正確計算有關(guān)0的加減法。教學反思：

1.充分利用教材的資源，將教材靜態(tài)的圖動態(tài)化，讓學生在生動有趣的故事情節(jié)中體會從有到無這個動態(tài)的變化過程，更好地理解0的含義。

2.同時提倡算法多樣化，學生根據(jù)自己不同的理解計算有關(guān)0的加減法。

數(shù)列的課件(篇6)

設(shè)計思路

數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面， 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面，學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。

教學過程：

一、片頭

（30秒以內(nèi)）

前面學習了數(shù)列的概念與簡單表示法，今天我們來學習一種特殊的數(shù)列－等差數(shù)列。本節(jié)微課重點講解等差數(shù)列的定義， 并且能初步判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列。

30秒以內(nèi)

二、正文講解（8分鐘左右）

第一部分內(nèi)容：由三個問題，通過判斷分析總結(jié)出等差數(shù)列的定義 60 秒

第二部分內(nèi)容：給出等差數(shù)列的定義及其數(shù)學表達式50 秒

第三部分內(nèi)容：哪些數(shù)列是等差數(shù)列？并且求出首項與公差。根據(jù)這個練習總結(jié)出幾個常用的結(jié)152秒

三、結(jié)尾

（30秒以內(nèi)）授課完畢，謝謝聆聽！30秒以內(nèi)

自我教學反思

本節(jié)課通過生活中一系列的實例讓學生觀察，從而得出等差數(shù)列的概念，并在此基礎(chǔ)上學會判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列，培養(yǎng)了學生觀察、分析、歸納、推理的能力。充分體現(xiàn)了學生做數(shù)學的過程，使學生對等差數(shù)列有了從感性到理性的認識過程。

它山之石可以攻玉，以上就是范文為大家整理的6篇《高一數(shù)學等差數(shù)列教案》，能夠給予您一定的參考與啟發(fā)，是范文的價值所在。

數(shù)列的課件(篇7)

數(shù)列極限教學設(shè)計

復習目的：1.理解數(shù)列極限的概念，會用“”定義證明簡單數(shù)列的極限。

2.掌握三個最基本的極限和數(shù)列極限的運算法則的運用。

3.理解無窮數(shù)列各項和的概念。

4.培養(yǎng)學生的推理論證能力、運算能力，提高學生分析問題，解決問

題的能力。

教學過程：

問題1：根據(jù)你的理解，數(shù)列極限的定義是如何描述的？

數(shù)列極限的定義：對于數(shù)列{an},如果存在一個常數(shù)A，無論事先指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項aN,使得這一項后的所有項與A的差的絕對值小于，（即當n>N時，記

時，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，

因為N時，an對應的點都在區(qū)間（A-

問題5：利用“，A+）內(nèi)。”定義來證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么？ N時，立）。

問題6

：無窮常數(shù)數(shù)列有無極限？數(shù)列呢？數(shù)列

（

三個最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數(shù)列極限的運算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個數(shù)列都有極限，那么這兩個數(shù)列對應項的和，差，積，商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對嗎？ 運算法則中的只能推廣到有限個的情形。

問題9：無窮數(shù)列各項和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數(shù)列的前n項和，特別地，對無窮等比數(shù)列（

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計算：

（++）=0，求實數(shù)a,b的值。+，例5．已知數(shù)列是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項和為

小結(jié)：本節(jié)課復習了數(shù)列極限的概念，運算法則，三個最基本的極限，無窮數(shù)列各項和的概念，以及它們的運用，主要是利用數(shù)列極限概念證明簡單數(shù)列的極限，利用運算法則求數(shù)列的極限，（包括已知極限求參數(shù)），求無窮數(shù)列各項和。

數(shù)列的課件(篇8)

目的：

要求學生理解數(shù)列的概念及其幾何表示，理解什么叫數(shù)列的通項公式，給出一些數(shù)列能夠?qū)懗銎渫椆?，已知通項公式能夠求?shù)列的項。

按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，數(shù)列的第n項an叫做數(shù)列的通項（或一般項）。由數(shù)列定義知：數(shù)列中的數(shù)是有序的，數(shù)列中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無序性、互異性是不同的。

2．數(shù)列的通項公式，如果數(shù)列{an}的通項an可以用一個關(guān)于n的公式來表示，這個公式就叫做數(shù)列的通項公式。

從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看成是定義域為正整數(shù)集N*（或?qū)挼挠邢拮蛹┑暮瘮?shù)。當自變量順次從小到大依次取值時對自學成才的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式則是相應的解析式。由于數(shù)列的.項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點。

難點：

根據(jù)數(shù)列前幾項的特點，以現(xiàn)規(guī)律后寫出數(shù)列的通項公式。給出數(shù)列的前若干項求數(shù)列的通項公式，一般比較困難，且有的數(shù)列不一定有通項公式，如果有通項公式也不一定唯一。給出數(shù)列的前若干項要確定其一個通項公式，解決這個問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應關(guān)系，然后抽象成一般形式。

1． 堆放的鋼管 4,5,6,7,8,9,102． 正整數(shù)的倒數(shù) 3． 4． -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…5． 無窮多個數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…

遞增數(shù)列、遞減數(shù)列；常數(shù)列；擺動數(shù)列； 有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。

5． 實質(zhì)：

從映射、函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，通項公式即相應的函數(shù)解析式。

6． 用圖象表示：

3． 已知通項公式可寫出數(shù)列的任一項，因此通項公式十分重要例二 （P111 例二）略

四、補充例題：

寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前 項分別是下列各數(shù)：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ，

1．觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，關(guān)寫出每個數(shù)列的一個通項公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， …

2．寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）1、 、 、 ； （2） 、 、 、 ； （3） 、 、 、 ； （4） 、 、 、

3．求數(shù)列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個通項公式

4．已知數(shù)列an的前4項為0， ，0， ，則下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作為數(shù)列{an}通項公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

5．已知數(shù)列1， ， ， ，3， …， ，…，則 是這個數(shù)列的（ ）A． 第10項 B.第11項 C.第12項 D.第21項

6．在數(shù)列{an}中a1=2,a17=66,通項公式或序號n的一次函數(shù)，求通項公式。

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性。

8．在數(shù)列{an}中，an=

（2）求數(shù)列{an}的最大項。

答案：

1.（1） ，an= （2） ，an=

2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an=

3．a(chǎn)n= 或an= 這里借助了數(shù)列1，0，1，0，1，0…的通項公式an= 。

7．（1）an= (2)

數(shù)列的課件(篇9)

教學目標?

1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題。

（1）正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個數(shù)列是的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是，了解等比中項的概念；

（2）正確認識使用的表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公比、項數(shù)及指定的項；

（3）通過通項公式認識的性質(zhì)，能解決某些實際問題。

2.通過對的研究，逐步培養(yǎng)學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)。

3.通過對概念的歸納，進一步培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態(tài)度。

教學建議

教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

是另一個簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用。

（2）重點、難點分析

教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用，教學難點?在于通項公式的推導和運用。

①與等差數(shù)列一樣，也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項公式得出的特性，這些是教學的重點。

②雖然在等差數(shù)列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點。

③對等差數(shù)列、的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點。

教學建議

（1）建議本節(jié)課分兩課時，一節(jié)課為的概念，一節(jié)課為通項公式的應用。

（2）概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到的定義。也可將幾個等差數(shù)列和幾個混在一起給出，由學生將這些數(shù)列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括的定義。

（3）根據(jù)定義讓學生分析的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解。

（4）對比等差數(shù)列的表示法，由學生歸納的各種表示法。 啟發(fā)學生用函數(shù)觀點認識通項公式，由通項公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象。

（5）由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗，的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn)。

（6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學生的主體作用。

教學設(shè)計示例

課題：的概念

教學目標?

1.通過教學使學生理解的概念，推導并掌握通項公式。

2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養(yǎng)學生的觀察、概括能力。

3.培養(yǎng)學生勤于思考，實事求是的精神，及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。

教學重點，難點

重點、難點是的定義的歸納及通項公式的推導。

教學用具

投影儀，多媒體軟件，電腦。

教學方法

討論、談話法。

教學過程?

一、提出問題

給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說出分類標準。（幻燈片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1， ， ，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由學生發(fā)表意見（可能按項與項之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為）.

二、講解新課

請學生說出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題。假設(shè)每經(jīng)過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設(shè)開始有一個變形蟲，經(jīng)過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經(jīng)過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數(shù)得到了一列數(shù) 這個數(shù)列也具有前面的幾個數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——. （這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）

（板書）

1.的定義（板書）

根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給下定義。學生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學生概括出來的。教師寫出的定義，標注出重點詞語。

請學生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數(shù)列既是等差數(shù)列又是。學生通過觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例。而后請學生概括這類數(shù)列的一般形式，學生可能說形如 的數(shù)列都滿足既是等差又是，讓學生討論后得出結(jié)論：當 時，數(shù)列 既是等差又是，當 時，它只是等差數(shù)列，而不是。教師追問理由，引出對的認識：

2.對定義的認識（板書）

（1）的首項不為0；

（2）的每一項都不為0，即 ；

問題：一個數(shù)列各項均不為0是這個數(shù)列為的什么條件？

（3）公比不為0.

用數(shù)學式子表示的定義。

是 ①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成 ，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為 是 ？為什么不能？

式子 給出了數(shù)列第 項與第 項的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個？（不能）確定一個需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式。

3.的通項公式（板書）

問題：用 和 表示第 項 .

①不完全歸納法

.

②疊乘法

，… ， ，這 個式子相乘得 ，所以 .

（板書）（1）的通項公式

得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式。

（板書）（2）對公式的認識

由學生來說，最后歸結(jié)：

①函數(shù)觀點；

②方程思想（因在等差數(shù)列中已有認識，此處再復習鞏固而已）.

這里強調(diào)方程思想解決問題。方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應用，請學生舉例（應能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規(guī)范表述的訓練）

如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應用，下節(jié)課再研究。同學可以試著編幾道題。

三、小結(jié)

1.本節(jié)課研究了的概念，得到了通項公式；

2.注意在研究內(nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；

3.用方程的思想認識通項公式，并加以應用。

四、作業(yè)?（略）

五、板書設(shè)計?

三。

1.的定義

2.對定義的認識

3.的通項公式

（1）公式

（2）對公式的認識

探究活動

將一張很大的薄紙對折，對折30次后（如果可能的話）有多厚？不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米。

參考答案：

30次后，厚度為，這個厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙再薄一些，比如紙厚0.001毫米，對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了。還記得國王的承諾嗎？第31個格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個格子中的米應是 粒，用計算器算一下吧（用對數(shù)算也行）.

數(shù)列的課件(篇10)

數(shù)列的極限說課稿

【一、教材分析】

1、教材的地位和作用：

數(shù)列的極限是中學數(shù)學與高等數(shù)學一個銜接點，它同時也是中學數(shù)學教學的難點之一。在中學階段滲透近代數(shù)學的基礎(chǔ)知識，是課程教材改革的要求之一。教材把極限作為高中階段的必修內(nèi)容，意圖是在中學階段滲透極限思想，使學生初步接觸用有限刻畫無限，由已知認識未知，由近似描述精確的數(shù)學方法，使學生對變量、變化過程有更深的認識，這對于提高學生數(shù)學素質(zhì)有積極意義。

2、教學目標及確立的依據(jù)：

教學目標：

（1）教學知識目標：通過趣聞故事和割圓術(shù)使學生對“無限趨近”有感性的認識；

從數(shù)列的變化趨勢理解數(shù)列極限的概念；

會判斷一些簡單數(shù)列的極限。

（2）能力訓練目標：觀察運動和變化的過程，初步認識有限與無限、近似與精確、量變與質(zhì)變的辨證關(guān)系，提高學生的數(shù)學概括能力和抽象思維能力。

（3）德育滲透目標：通過教學提高學生學習數(shù)學的興趣和數(shù)學審美能力，培養(yǎng)學生的主動探索精神和創(chuàng)新意識。

教學目標確立的依據(jù)：《全日制中學數(shù)學教學大綱》中明確規(guī)定，要從數(shù)列的變化趨勢理解數(shù)列的極限，針對這樣的情況，我依照《大綱》的要求制定了符合實際的教學目標，并在教學過程中把重點放在對數(shù)列極限的概念意義的準確把握和理解上。為了更好的達到教學目標，我設(shè)計一些形象、直觀、準確的計算機演示程序，分散教學難點。

3、教學重點及難點確立的依據(jù)：

教學重點：數(shù)列極限的意義

教學難點：數(shù)列極限的概念理解

教學重點與難點確立的依據(jù)：數(shù)列極限的定義抽象性比較強，它有諸多的定義方式，我們教材是采用描述性方法定義數(shù)列的極限。數(shù)列極限的定義過程，重點是剖析“數(shù)列無限趨近于常數(shù)”的含義。所以要求學生的理性認識能力較高，所以本節(jié)課的重點難點就必然落在對數(shù)列極限概念的理解上。

【二、教材的處理】

由于極限的概念中關(guān)系到“無限”，而高中學生以往的數(shù)學學習中主要接觸的是“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。因此，對極限概念如何從變化趨勢的角度來正確理解成為本章的難點。為了解決這一難點，主要結(jié)合具體例子，首先要讓學生對它形成正確的初步認識，為了理解極限概念積累一定的感性認識，還要注意從“特殊”到“一般”的歸納。在將具體例子時，注意從中提煉，概括涉及極限的本質(zhì)特征，為歸納出一般概念作好準備；在講一般概念時，注意結(jié)合具體例子予以解釋說明，克服抽象理解的困難，使學生對數(shù)列極限的概念有很準確的認識。教材中只是介紹了數(shù)列極限的定義，著重讓學生從變化趨勢上去理解，工夫化在概念的理解上，而不過分膨脹內(nèi)容、增加習題難度和過多的訓練。

【三、教學方法和教學工具】

教學方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)特征，教師歸納概念，師生共同探討。

確立教學方法的依據(jù)：數(shù)列極限是一個抽象的概念，關(guān)鍵是讓學生理解從“有限”到“無限”如何從變化趨勢來理解極限的概念，通過師生共同觀察討論來幫助學生深刻理解，為以后的應用打下堅實的基礎(chǔ)。

教學工具：多媒體教學設(shè)備

【四、教學流程】

主要過程課程設(shè)計及決策意圖

一、引入

（1）趣聞故事以趣聞故事引入，激發(fā)學生學習的興趣，并使學生對“無限接近”有感性的認識。

（2）割圓術(shù)通過割圓術(shù)使學生對“無限接近”有進一步的認識，并及時進行德育滲透，增強民族自豪感。

二、數(shù)列極限的描述性定義

（1）給出幾個數(shù)列，讓學生由學生歸納當無限增大時數(shù)列的項的值的相關(guān)特征，教師順其給出數(shù)列極限的描述性列表計算，并借助計算機定義，并通過描述性定義進行辨析，為后面理演示作圖，觀察歸納數(shù)列解“無限趨近”的數(shù)量表示做準備極限的描述性定義

（2）概念的辨析

三、“無限趨近”的數(shù)量表示

給出一個具體的數(shù)列，通過這個數(shù)列重點剖析“數(shù)列{ }無限趨近于并把這個數(shù)列的各項在數(shù)軸上常數(shù)c”的含義，讓學生對“數(shù)列無限趨近于常表示，觀察數(shù)列各項的點與1數(shù)c”有進一步的認識。

的距離是越來越趨近于1。

然后通過“越來越趨近于1”

在數(shù)量上的反映為當無限增大時，預先給定任意小的正數(shù)總可以找到這樣的，使得與1的差的絕對值都小于，即

三、練習鞏固數(shù)列極限概念

四、小結(jié) 總結(jié)數(shù)列極限概念的本質(zhì)

【五．幾點說明】

數(shù)學教學注重的是學生在原有的數(shù)學知識基礎(chǔ)上，在教師的組織和指導下，充分自主的進行討論、交流，通過表達、接受和轉(zhuǎn)換，獲取新的數(shù)學知識與方法，重組個人的知識結(jié)構(gòu)，形成良好的數(shù)學素養(yǎng)，提高個人獲取信息的能力，培養(yǎng)合作學習的精神。所以在這節(jié)課的設(shè)計上，我主要是通過趣聞吸引學生的興趣，從而對極限有感性的認識，然后通過具體數(shù)列由觀察到分析，由定性到定量，由直觀到抽象，按照思維的發(fā)展規(guī)律，有淺入深設(shè)計了6個不同的層次：

1、通過趣聞和割圓術(shù)，使學生對數(shù)列極限有感性的認識，并及時滲透愛國注意教育，增強學生的民族自豪感和對數(shù)學學習的興趣，并激勵學生的好奇心和求知欲，在認知方面明確本節(jié)課的內(nèi)容。

2、給出幾個具體的無窮數(shù)列，讓學生通過列表計算，并借助計算機作圖觀察，并討論交流歸納出有極限數(shù)列當項數(shù)無限增大時的直觀特點；

3、教師引導學生概括出數(shù)列極限的描述性定義；

4、通過對幾個精心設(shè)計的幾個問題的討論，糾正學生在對數(shù)列的描述性定義理解上可能出現(xiàn)的錯誤，這樣可以使學生對數(shù)列極限定義的進一步探討的必要性有了初步的認識，也能夠激發(fā)起學生的參與熱情；

5、通過具體的例子深入分析數(shù)列極限的內(nèi)涵，理解“無限趨近”的數(shù)量表示；

6、鞏固練習，加深對數(shù)列極限概念的正確認識。

小結(jié)

重在對數(shù)列極限概念的本質(zhì)進行總結(jié)和點撥，以便引起學生對極限的更深刻的思考，同時與教學目標相呼應。

數(shù)列的課件(篇11)

高中數(shù)列教案

數(shù)列是高中數(shù)學課程中的一個重要概念，它在數(shù)學領(lǐng)域中有著廣泛的應用。數(shù)列的概念并不難理解，但要熟練掌握數(shù)列的性質(zhì)和運算規(guī)律，則需要花費一定的時間和精力。在高中數(shù)學教學中，數(shù)列的教學一直是一個難點和重點。為了能夠更好地幫助學生掌握數(shù)列的相關(guān)知識，老師需要設(shè)計生動有趣的課堂教學內(nèi)容，制定有效的數(shù)列教案。

一、教學目標

在設(shè)計數(shù)列教案之前，首先要確定教學目標。數(shù)列教學的目標主要包括：

1. 理解數(shù)列的概念和性質(zhì)；

2. 掌握數(shù)列的常用運算規(guī)律；

3. 能夠應用數(shù)列解決實際問題；

4. 培養(yǎng)學生的邏輯思維和數(shù)學推理能力。

二、教學內(nèi)容

數(shù)列的內(nèi)容涉及很廣泛，包括等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公式、數(shù)列的和等方面。在設(shè)計數(shù)列教案時，應該將這些內(nèi)容有機結(jié)合，從淺入深地進行教學。

1. 等差數(shù)列

等差數(shù)列是指數(shù)列中相鄰兩項之差恒為常數(shù)的數(shù)列。在教學中，可以通過生動有趣的例子引入等差數(shù)列的概念，然后介紹等差數(shù)列的通項公式和求和公式，并通過例題講解加深學生對等差數(shù)列的理解。

2. 等比數(shù)列

等比數(shù)列是指數(shù)列中相鄰兩項之比恒為常數(shù)的數(shù)列。在教學中，同樣可以通過生動有趣的例子引入等比數(shù)列的概念，介紹等比數(shù)列的通項公式和求和公式，并通過例題講解加深學生對等比數(shù)列的理解。

3. 數(shù)列的和

數(shù)列的和是數(shù)列中所有項的和。在教學中，可以通過生活中的實際問題引入數(shù)列的和的概念，介紹數(shù)列的和的計算方法和性質(zhì)，并通過例題講解加深學生對數(shù)列的和的理解。

三、教學方法

在設(shè)計數(shù)列教案時，要采用多種教學方法，例如講授法、練習法、歸納法、啟發(fā)法等，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的學習效率。

1. 講授法

通過講解概念、性質(zhì)和運算規(guī)律，使學生理解數(shù)列的相關(guān)知識點。

2. 練習法

通過大量的練習，鞏固學生對數(shù)列的掌握程度，并培養(yǎng)學生的解題能力。

3. 歸納法

通過歸納總結(jié)，幫助學生理清數(shù)列的性質(zhì)和運算規(guī)律，提高學生對數(shù)列的整體認識。

4. 啟發(fā)法

通過啟發(fā)學生思考和解題，培養(yǎng)學生的邏輯思維和數(shù)學推理能力。

四、教學手段

為了提高教學效果，教師可以運用多種教學手段，如教學演示、多媒體輔助、學生互動等，使數(shù)列教學更加生動有趣。

1. 教學演示

通過教學演示，可以形象直觀地展示數(shù)列的概念和性質(zhì)，幫助學生更好地理解和掌握數(shù)列的相關(guān)知識。

2. 多媒體輔助

通過多媒體輔助教學，可以運用圖片、視頻等多媒體資料，吸引學生的注意力，提高學生的學習興趣。

3. 學生互動

通過學生互動，可以促進學生之間的交流和合作，激發(fā)學生的學習積極性，提高教學效果。

五、教學評估

在教學過程中，要及時對學生的學習情況進行評估，了解學生的學習情況，及時調(diào)整教學方法和教學內(nèi)容，使教學更加有針對性。

1. 小測驗

可以通過小測驗來檢測學生對數(shù)列的掌握程度，及時發(fā)現(xiàn)學生的問題并進行針對性輔導。

2. 課堂討論

可以通過課堂討論來檢測學生的學習情況，激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的學習主動性。

3. 作業(yè)檢查

通過作業(yè)檢查，及時發(fā)現(xiàn)學生的問題并進行針對性的輔導，幫助學生提高數(shù)列的學習效果。

通過以上的教學目標、教學內(nèi)容、教學方法、教學手段和教學評估，設(shè)計出生動具體的高中數(shù)列教案，將有助于提高教學質(zhì)量，幫助學生更好地掌握數(shù)列的相關(guān)知識，提高學生的數(shù)學學習興趣和學習效果。

數(shù)列的課件(篇12)

?§3.1.1、的通項公式?目的：要求學生理解的概念及其幾何表示，理解什么叫的通項公式，給出一些能夠?qū)懗銎渫椆剑阎椆侥軌蚯蟮捻?。重點：1的概念。按一定次序排列的一列數(shù)叫做。中的每一個數(shù)叫做的項，的第n項an叫做的通項（或一般項）。由定義知：中的數(shù)是有序的，中的數(shù)可以重復出現(xiàn)，這與數(shù)集中的數(shù)的無序性、互異性是不同的。2．的通項公式，如果{an}的通項an可以用一個關(guān)于n的公式來表示，這個公式就叫做的通項公式。從映射、函數(shù)的觀點看，可以看成是定義域為正整數(shù)集N*（或?qū)挼挠邢拮蛹┑暮瘮?shù)。當自變量順次從小到大依次取值時對自學成才的一列函數(shù)值，而的通項公式則是相應的解析式。由于的項是函數(shù)值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點。難點：根據(jù)前幾項的特點，以現(xiàn)規(guī)律后寫出的通項公式。給出的前若干項求的通項公式，一般比較困難，且有的不一定有通項公式，如果有通項公式也不一定唯一。給出的前若干項要確定其一個通項公式，解決這個問題的關(guān)鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應關(guān)系，然后抽象成一般形式。過程：一、從實例引入（P110）1．? 堆放的鋼管? ??4,5,6,7,8,9,102．? 正整數(shù)的倒數(shù)??? 3．? 4．? -1的正整數(shù)次冪：-1,1,-1,1,…5．? 無窮多個數(shù)排成一列數(shù)：1,1,1,1,…二、提出課題：1．? 的定義：按一定次序排列的一列數(shù)（的有序性）2．? 名稱：項，序號，一般公式 ，表示法 3．? 通項公式： 與 之間的函數(shù)關(guān)系式如 1： ?????2： ???? 4： 4．? 分類：遞增、遞減；常；擺動；????????????????? 有窮、無窮。5．? 實質(zhì)：從映射、函數(shù)的觀點看，可以看作是一個定義域為正整數(shù)集?? ???????? ???N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，通項公式即相應的函數(shù)解析式。6．? 用圖象表示：— 是一群孤立的點????????? 例一 （P111 例一?? 略）三、關(guān)于的通項公式1．? 不是每一個都能寫出其通項公式 （如3）2．? 的通項公式不唯一?? 如： 4可寫成????? 和???????????????? ??????????? ??? 3．? 已知通項公式可寫出的任一項，因此通項公式十分重要例二? （P111? 例二）略?????????? 四、補充例題：寫出下面的一個通項公式，使它的前 項分別是下列各數(shù)：1．1，0，1，0．????????????????????? ????????????? 2． ， ， ， ， ??????? ????????????? 3．7，77，777，7777????????? ????????????? 4．-1，7，-13，19，-25，31?????????? ????????????? 5． ， ， ， ???????? 五、小結(jié)：1．的有關(guān)概念2．觀察法求的通項公式六、作業(yè)?：? 練習P112??習題 3．1（P114）1、2七、練習：1．觀察下面的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，關(guān)寫出每個的一個通項公式；（1） ， ， ，（?? ）， ， …（2） ，（? ）， ， ， …? 2．寫出下面的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）1、 、 、 ；??????? （2） 、 、 、 ；?????? ????????????????? （3） 、 、 、 ；? （4） 、 、 、 。3．求1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個通項公式4．已知an的前4項為0， ，0， ，則下列各式 ①an=??? ②an=? ③an=? 其中可作為{an}通項公式的是?A ①???????? B ①②???????? C ②③??????? D ①②③ 5．已知1， ， ， ，3， …， ，…，則 是這個的（??? ）?A． 第10項??? B.第11項??? C.第12項??? D.第21項????? 6．在{an}中a1=2,a17=66,通項公式或序號n的一次函數(shù)，求通項公式。7．設(shè)函數(shù) （ ），{an}滿足 （1）求{an}的通項公式；（2）判斷{an}的單調(diào)性。8．在{an}中，an=（1）求證：{an}先遞增后遞減；（2）求{an}的最大項。?答案：1. （1） ，an=?（2） ，an=?????? 2．（1）an=??????????????????（2）an=???????? （3）an=????????（4）an=?????? 3．a(chǎn)n=?? ?或an=這里借助了1，0，1，0，1，0…的通項公式an=。4．D? 5.B?? 6. an=4n-27．（1）an=????(2)

數(shù)列的課件(篇13)

§３ 數(shù)列極限存在的條件

教學內(nèi)容：單調(diào)有界定理，柯西收斂準則。

教學目的：使學生掌握判斷數(shù)列極限存在的常用工具。掌握并會證明單調(diào)有界定理，并會運用它求某些收斂

數(shù)列的極限；初步理解Cauchy準則在極限理論中的主要意義，并逐步會應用Cauchy準則判斷某些數(shù)列的斂散性。

教學重點：單調(diào)有界定理、Cauchy收斂準則及其應用。

教學難點：相關(guān)定理的應用。

教學方法：講練結(jié)合。

教學學時：2學時。

? 引言

在研究比較復雜的極限問題時，通常分兩步來解決：先判斷該數(shù)列是否有極限（極限的存在性問題）；若有極限，再考慮如何計算些極限（極限值的計算問題）。這是極限理論的兩基本問題。

本節(jié)將重點討論極限的存在性問題。為了確定某個數(shù)列是否有極限，當然不可能將每一個實數(shù)依定義一一加以驗證，根本的辦法是直接從數(shù)列本身的特征來作出判斷。本節(jié)就來介紹兩個判斷數(shù)列收斂的方法。

一、單調(diào)數(shù)列：

定義 若數(shù)列?an?的各項滿足不等式an?an?1(a?an?1)，則稱?an?為遞增（遞減）數(shù)列。遞增和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列． ?(?1)n??1?2例如：??為遞減數(shù)列；?n?為遞增數(shù)列；??不是單調(diào)數(shù)列。n?n???

二、單調(diào)有界定理：

考慮：單調(diào)數(shù)列一定收斂嗎？有界數(shù)列一定收斂嗎？以上兩個問題答案都是否定的，如果數(shù)列對以上兩個條件都滿足呢？答案就成為肯定的了，即有如下定理：

定理2.9（單調(diào)有界定理）在實數(shù)系中，有界且單調(diào)數(shù)列必有極限。

證明：不妨設(shè)?an?單調(diào)遞增有上界，由確界原理?an?有上確界a?sup?an?，下面證明liman?a.???0，n??

一方面，由上確界定義?aN??an?，使得a???aN，又由?an?的遞增性得，當n?N時a???aN?an； 另一方面，由于a是?an?的一個上界，故對一切an，都有an?a?a??；

所以當n?N時有a???an?a??，即an?a??，這就證得liman?a。n??

同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且為它的下確界。

例１ 設(shè)an?1?111????,n?1,2,?其中??2，證明數(shù)列?an?收斂。2?3?n?

證明：顯然數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的，以下證明它有上界.事實上，an?1?111???? 22223n

?1?1111??1??11??1?????1??1???????????? 1?22?3(n?1)n?2??23??n?1n?

?2?1?2，n?1,2,? n

于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列?an?收斂。

例２ 證明下列數(shù)列收斂，并求其極限：

?? n個根號

解：記an?

顯然a1?2?2???2，易見數(shù)列?an?是單調(diào)遞增的，現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明?an?有上界2.2?2，假設(shè)an?2，則有an?1?2?an?2?2?2，從而數(shù)列?an?有上界2.n??2于是由單調(diào)有界定理便知數(shù)列?an?收斂。以下再求其極限，設(shè)liman?a，對等式an?1?2?an兩邊

2同時取極限得a?2?a，解之得a?2或a??1（舍去，由數(shù)列極限保不等式性知此數(shù)列極限非負），從而 lim2?2???2?2.n??

例３證明lim(1?)存在。n??1nn

分析：此數(shù)列各項變化趨勢如下

我們有理由猜測這個數(shù)列單調(diào)遞增且有上界，下面證明這個猜測是正確的。

證明：先建立一個不等式，設(shè)b?a?0，n?N?，則由

bn?1?an?1?(b?a)(bn?bn?1a?bn?2a2???ban?1?an)?(n?1)bn(b?a)得到不等式 an?1?bn?(n?1)a?nb?（＊）

以b?1?1111?1??a代入（＊）式，由于(n?1)a?nb?(n?1)(1?)?n(1?)?1 nn?1n?1n

n?1nn??11????????1??由此可知數(shù)列??1???為遞增數(shù)列； ??n???n???1??于是?1???n?1?

再以b?1?111?1?a代入（＊）式，同樣由于(n?1)a?nb?(n?1)?n(1?)?，2n2n

2n2nn???1????4由此可知數(shù)列??1???為有界數(shù)列； ???n???1?1?1??于是1??1???1?????2n?2?2n?

n綜上由單調(diào)有界定理便知lim(1?)存在。n??n

n???1???注：數(shù)列??1???是收斂的，但它的極限目前沒有辦法求出，實際上它的極限是e（無理數(shù)），即有???n???

1lim(1?)n＝e，這是非常有用的結(jié)論，我們必須熟記，以后可以直接應用。n??n

例4 求以下數(shù)列極限：

（1）lim(1?)；（2）lim(1?n??n??1nn1n1)；（3）lim(1?)2n.n??2nn

?n??1n1?? 解:(1)lim(1?)?lim??1???n??n??n???n?????11?； e

(2)lim(1?n????1n1?)?lim??1??n??2n2n????2n???e ??12

(3)lim(1?n??12n)n??1?n??lim??1????e2.n?????n???2

三、柯西收斂準則：

１．引言：

單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，下面給出在實數(shù)集中數(shù)列收斂的充分必要條件——柯西收斂準則。

２．Cauchy收斂準則：

定理2.10（Cauchy收斂準則）數(shù)列?an?收斂的充分必要條件是：對任給的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使得當n,m?N時有|an?am|??；或?qū)θ谓o的??0，存在正整數(shù)Ｎ，使得當n?N，及任一p?N?，有an?p?an??。

３．說明：

(1)Cauchy收斂準則從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問題。

(2)Cauchy收斂準則的條件稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實：收斂數(shù)列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項之差的絕對值可以小于預先給定的任意小正數(shù)?；蛘?，形象地說，收斂數(shù)列的各項越到后面越是“擠”在一起。

(3)Cauchy準則把??N定義中an與a的之差換成an與am之差。其好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只要根據(jù)數(shù)列本身的特征就可以鑒別其（收）斂（發(fā)）散性。

(4)數(shù)列?an?發(fā)散的充分必要條件是：存在?0?0，對任意的N?N?，都可以找到n,m?N，使得an?am??0；存在?0?0，對任意的N?N?，都可以找到n?N，及p?N?，使得an?p?an??0.例5設(shè)an?111?2???n，證明數(shù)列?an?收斂。101010

證明：不妨設(shè)n?m，則

an?am?111?????m?1m?2n101010

1110m?1??1?n?m??1???????10????1?1?1??1?1 m?n?m?19?10?10?10mm1?10對任給的??0，存在N?

例6設(shè)an?1?

證明：??0??，對一切n?m?N有|an?am|??，由柯西收斂準則知數(shù)列?an?收斂。11???，證明數(shù)列?an?發(fā)散。2n

an?p1，對任意的N?N?，任取n?N，及p?n，則有 211111111?an??????????(共n項)?n????0 n?1n?22n2n2n2n2n2由柯西收斂準則知數(shù)列?an?發(fā)散。

數(shù)列的課件(篇14)

數(shù)列的極限 教學設(shè)計

西南位育中學 肖添憶

一、教材分析

《數(shù)列的極限》為滬教版第七章第七節(jié)第一課時內(nèi)容，是一節(jié)概念課。極限概念是數(shù)學中最重要和最基本的概念之一，因為極限理論是微積分學中的基礎(chǔ)理論，它的產(chǎn)生建立了有限與無限、常量數(shù)學與變量數(shù)學之間的橋梁，從而彌補和完善了微積分在理論上的欠缺。本節(jié)后續(xù)內(nèi)容如：數(shù)列極限的運算法則、無窮等比數(shù)列各項和的求解也要用到數(shù)列極限的運算與性質(zhì)來推導，所以極限概念的掌握至關(guān)重要。

課本在內(nèi)容展開時，以觀察n??時無窮等比數(shù)列an?列an?qn,(|q|?1)與an?1的發(fā)展趨勢為出發(fā)點，結(jié)合數(shù)n21的發(fā)展趨勢，從特殊到一般地給出數(shù)列極限的描述性定義。在n由定義給出兩個常用極限。但引入部分的表述如“無限趨近于0，但它永遠不會成為0”、“不管n取值有多大，點（n，an）始終在橫軸的上方”可能會造成學生對“無限趨近”的理解偏差。

二、學情分析

通過第七章前半部分的學習，學生已經(jīng)掌握了數(shù)列的有關(guān)概念，以及研究一些特殊數(shù)列的方法。但對于學生來說，數(shù)列極限是一個全新的內(nèi)容，學生的思維正處于由經(jīng)驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡的階段。

由于已有的學習經(jīng)驗與不當?shù)耐评眍惐龋瑢W生在理解“極限”、“無限趨近”時可能產(chǎn)生偏差，比如認為極限代表著一種無法逾越的程度，或是近似值。這與數(shù)學中“極限”的含義相差甚遠。在學習數(shù)列極限之前，又曾多次利用“無限趨近”描述反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征，這又與數(shù)列中“無限趨近”的含義有所差異，學生往往會因為常數(shù)列能達到某一個常數(shù)而否定常數(shù)列存在極限的事實。

三、教學目標與重難點 教學目標：

1、通過數(shù)列極限發(fā)展史的介紹，感受數(shù)學知識的形成與發(fā)展，更好地把握極限概念的來龍去脈；

2、經(jīng)歷極限定義在漫長時期內(nèi)發(fā)展的過程，體會數(shù)學家們從概念發(fā)現(xiàn)到完善所作出的努力，從數(shù)列的變化趨勢，正確理解數(shù)列極限的概念和描述性定義；

3、會根據(jù)數(shù)列極限的意義，由數(shù)列的通項公式來考察數(shù)列的極限；掌握三個常用極限。教學重點：理解數(shù)列極限的概念

教學難點：正確理解數(shù)列極限的描述性定義

四、教學策略分析

在問題引入時著重突出“萬世不竭”與“講臺可以走到”在認知上的矛盾，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲，并由此引出本節(jié)課的學習內(nèi)容。在極限概念形成時，結(jié)合極限概念的發(fā)展史展開教學，讓學生意識到數(shù)學理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的。數(shù)學的歷史發(fā)展過程與學生的認知過程有著一定的相似性，學生在某些概念上的進展有時與數(shù)學史上的概念進展平行。比如部分學生的想法與許多古希臘的數(shù)學家一樣，認為無限擴大的正多邊形不會與圓周重合，它的周長始終小于其外接圓的周長。教師通過梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，介紹概念的發(fā)展歷程以及前人對此的一系列觀點，能幫助學生發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。對數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程以認知角度加以分析，有助于學生學習數(shù)學家的思維方式，了解數(shù)學概念的發(fā)展，進而建構(gòu)推理過程，使學生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變。在課堂練習診斷部分，不但要求回答問題，還需對選擇原因進行辨析，進而強化概念的正確理解。

五、教學過程提綱與設(shè)計意圖 1.問題引入

讓一名學生從距離講臺一米處朝講臺走動，每次都移動距講臺距離的一半，在黑板上寫出表示學生到講臺距離的數(shù)列。這名學生是否能走到講臺呢？類比“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”，莊子認為這樣的過程是永遠不會完結(jié)的，然而“講臺永遠走不到”這一結(jié)果顯然與事實不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數(shù)學家們是如何思考的?！驹O(shè)計意圖】

改編自芝諾悖論的引入問題，與莊子的“一尺之捶”產(chǎn)生了認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲，并引出本節(jié)課的學習內(nèi)容

2.極限概念的發(fā)展與完善

極限概念的發(fā)展經(jīng)歷了三個階段：從早期以“割圓術(shù)”“窮竭法”為代表的樸素極限思想，到極限概念被提出后因“無窮小量是否為0”的爭論而引發(fā)的質(zhì)疑，再經(jīng)由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實數(shù)理論的形成，嚴格的極限理論至此才真正建立。【設(shè)計意圖】

教師引導學生梳理極限發(fā)展史上的代表性觀點，了解數(shù)學家們提出觀點的時代背景，對照反思自己的想法，發(fā)現(xiàn)自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較概念發(fā)展史上被否定的觀點與現(xiàn)今數(shù)學界認可的觀點時，會使學生產(chǎn)生認知沖突。從而可能使學生發(fā)生概念轉(zhuǎn)變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數(shù)學教學中，結(jié)合數(shù)學史展開教學可以讓學生意識到數(shù)學理論不是一成不變的，而是不斷發(fā)展變化的，從而提升學生概念轉(zhuǎn)變的動機。

3.數(shù)列極限的概念

極限思想的產(chǎn)生最早可追溯于中國古代。極限理論的完善出于社會實踐的需要，不是哪一名數(shù)學家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結(jié)果。極限的嚴格定義經(jīng)歷了相當漫長的時期才得以完善，它是人類智慧高度文明的體現(xiàn)，反映了數(shù)學發(fā)展的辯證規(guī)律。今天的主題，極限的定義，援引的便是柯西對于極限的闡述。

定義：在n無限增大的變化過程中，如果無窮數(shù)列{an}中的an無限趨近于一個常數(shù)A，那么A叫做數(shù)列{an}的極限，或叫做數(shù)列{an}收斂于A，記作liman?A，讀作“n趨向于

n??無窮大時，an的極限等于A”。

在數(shù)列極限的定義中，可用|an-A|無限趨近于0來描述an無限趨近于A。

如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個較為成功的版本，在歷史上的地位頗高。有時，我們也稱其為數(shù)列極限的描述性定義。

【設(shè)計意圖】

通過比較歷史上不同觀點下的極限定義，教師呈現(xiàn)數(shù)列極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學生進一步明確數(shù)列極限的含義。4.課堂練習診斷

由數(shù)列極限的定義得到三個常用數(shù)列的極限:(1)limC?C(C為常數(shù))；

n??(2)lim1?0(n?N*)； n??nnn??(3)當|q|判斷下列數(shù)列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請說明理由

20162016（1）an?；

nsinn?； n（3）1,1,1,1,?,1（2）an?（4）an????4(1?n?1000)

?4(n?1001)?1?1-，n為奇數(shù)（5）an??n

?? 1，n為偶數(shù)注：

（1）、（2）考察三個常用極限

（3）考查學生是否能清楚認識到數(shù)列極限概念是基于無窮項數(shù)列的背景下探討的。當項數(shù)無限增大時，數(shù)列的項若無限趨近于一個常數(shù)，則認為數(shù)列的極限存在。因此，數(shù)列極限可以看作是數(shù)列的一種趨于穩(wěn)定的發(fā)展趨勢。有窮數(shù)列的項數(shù)是有限的，因而并不存在極限這個概念。

（4）引用柯西的觀點，解釋此處無限趨近的含義，是指隨著數(shù)列項數(shù)的增加，數(shù)列的項與某一常數(shù)要多接近就有多接近，由此得出結(jié)論：數(shù)列極限與前有限項無關(guān)且無窮常數(shù)數(shù)列存在極限的。

（5）擴充對三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動趨近。本題中的數(shù)列沒有呈現(xiàn)出以上三種方式的任意一種。避免學生將趨近誤解為項數(shù)與常數(shù)間的差距不斷縮小。練習若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，則以下對A的描述正確的是_____.A、A是小于1的最大正數(shù)

B、A的精確值為1 C、A的近似值為1

選擇此選項的原因是_________ ①由于A的小數(shù)位都是 9，找不到比A大但比1小的數(shù)；

②A是由無限多個正數(shù)的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于 2；

③A表示的數(shù)是數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的極限；

④1與A的差等于 0.00…01。

注：此題是為考查學生對于無窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發(fā)展史可以看出，數(shù)學家們曾長時期陷入對無窮小概念理解的誤區(qū)中，極大地阻礙了對極限概念的理解。學生學習極限概念時可能也會遇到類似的誤區(qū)。

練習順次連接△ABC各邊中點A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各邊中點 A2、B2、C2并順次連接又得到一個新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直進行下去，那么最終得到的圖形是_________.A、一個點

B、一個三角形

C、不確定

選擇此選項的原因是_________.①

無限次操作后所得三角形的面積無限趨近于 0 但不可能等于 0。②

當操作一定次數(shù)后，三角形的三點會重合。

③

該項操作可以無限多次進行下去，因而總能作出類似的三角形。

④

無限次操作后所得三角形的三個頂點會趨向于一點。

注：此題從無限觀的角度考察學生對極限概念的的理解。學生容易忽視極限概念中的實無限，他們在視覺上采用無窮疊加的形式，但是會受最后一項的慣性思維，導致采用潛無限的思辨方式。所謂實無限是指把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位，是可以自我完成的過程或無窮整體。相對地，潛無限是指把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著不斷產(chǎn)生出來的東西。它永遠處在構(gòu)造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在的。持有潛無限觀點的學生在理解極限概念時，會將極限理解為是一個漸進過程，或是一個不可達到的極值。

通過習題，分析總結(jié)以下三個注意點：

（1）數(shù)列{an}有極限必須是一個無窮數(shù)列，但無窮數(shù)列不一定有極限存在；

1}可以說隨著n的無限增大，n1數(shù)列的項與-1會越來越接近，但這種接近不是無限趨近，所以不能說lim??1；

n??n（2）“無限趨近”不能用“越來越接近”代替，例如數(shù)列{（3）數(shù)列{an}趨向極限A的過程可有多種呈現(xiàn)形式。

【設(shè)計意圖】

通過例題與選項原因的分析，消除關(guān)于數(shù)列極限理解的三類誤區(qū)：

第一類是將數(shù)列極限等同于如下的三種概念：漸近線、最大限度或是近似值。第二類是學生對于數(shù)列趨向于極限方式的錯誤認知。第三類是對于無限的錯誤認知。

5.課堂小結(jié)

極限的描述性定義與注意點 三個常用的極限

6.作業(yè)布置

1>任課老師布置的其他作業(yè)

2>學習魏爾斯特拉斯的數(shù)列極限定義，并用該定義證明習題的第一第二小問 【設(shè)計意圖】

通過與數(shù)列極限相關(guān)的延伸問題，完善極限概念的體系，為學生創(chuàng)設(shè)課后自主探究平臺，感受靜態(tài)定義中凝結(jié)的數(shù)學家的智慧。

數(shù)列的課件(篇15)

數(shù)列(第一課時)的說課稿

一、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容簡析

本節(jié)內(nèi)容在全書及章節(jié)的地位：《數(shù)列(第一課時)》是高中數(shù)學新教材第一冊(上)第3章第一節(jié)。數(shù)列是在緊接著第二章函數(shù)之后的內(nèi)容，數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。它在教材中起著承前啟后的作用，一方面，可以加深學生對函數(shù)概念的認識，使他們了解不僅可以有自變量連續(xù)變化的函數(shù)，還可以有自變量離散變化的函數(shù);另一方面，又可以從函數(shù)的觀點出發(fā)變動地、直觀地研究數(shù)列的一些問題，以便對數(shù)列性質(zhì)的認識更深入一步。數(shù)列還有著非常廣泛的實際應用;數(shù)列還是培養(yǎng)學生數(shù)學能力的良好題材。所以說數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一。

數(shù)學思想方法分析：作為一名數(shù)學老師,不僅要傳授給學生數(shù)學知識,更重要的是傳授給學生數(shù)學思想、數(shù)學意識，因此本節(jié)課在教學中力圖向?qū)W生展示嘗試觀察、歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學思想方法。

二、教學目標

根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征 ，我制定如下教學目標：

1、基礎(chǔ)知識目標：形成并掌握數(shù)列的概念，理解數(shù)列的通項公式。并通過數(shù)列與函數(shù)的比較加深對數(shù)列的認識。

2、能力訓練目標： 培養(yǎng)學生觀察、歸納、類比、聯(lián)想等發(fā)現(xiàn)規(guī)律的一般方法。

3、情感目標：讓學生在民主、和諧的共同活動中感受學習的樂趣。

三、教學重點、難點、關(guān)鍵

本著課程標準，在吃透教材基礎(chǔ)上，我覺得本節(jié)課是本章內(nèi)容的第一節(jié)課，是學生學習本章的基礎(chǔ)，為了本章后面知識的學習，首先必須掌握數(shù)列的概念，其次數(shù)列的通項公式是研究后面等差數(shù)列、等比數(shù)列的靈魂，所以我認為數(shù)列的概念及其通項公式是教學的重點。由特殊到一般，由現(xiàn)象到本質(zhì)，要學生從一個數(shù)列的前幾項或相鄰的幾項來觀察、歸納、類比、聯(lián)想出數(shù)列的通項公式，學生必須通過自己的努力尋找出數(shù)列的通項an與項數(shù)n之間的關(guān)系來，對學生的能力要求比較高，所以我認為建立數(shù)列的通項公式是教學的難點。我覺得教學的關(guān)鍵就是教會學生克服難點，辦法是讓學生學會觀察數(shù)列的前幾項的特點，在觀察和比較中揭示數(shù)列的變化規(guī)律。

下面，為了講清重點、難點，使學生能達到本節(jié)設(shè)定的教學目標，我再從教法和學法上談談。

四、教法

數(shù)學是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學科，因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。為了體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，遵循學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進與啟發(fā)式的教學原則，我進行了這樣的教法設(shè)計：在教師的引導下，創(chuàng)設(shè)情景，通過開放性問題的設(shè)置來啟發(fā)學生思考，在思考中體會數(shù)學概念形成過程中所蘊涵的數(shù)學方法，使之獲得內(nèi)心感受。

五、學法

我們常說：“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人”，因而在教學中要特別重視學法的指導。隨著《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》的頒布實施，課程改革形成由點到面，逐步鋪開的良好態(tài)勢。其中轉(zhuǎn)變學生學習方式是本次課程改革的重點之一。課程改革的具體目標之一是“改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。數(shù)學作為基礎(chǔ)教育的核心課程之一，轉(zhuǎn)變學生數(shù)學學習方式，不僅有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，而且有利于促進學生整體學習方式的轉(zhuǎn)變。我以建構(gòu)主義理論為指導，輔以多媒體手段，采用著重于學生探索研究的啟發(fā)式教學方法，結(jié)合師生共同討論、歸納。在課堂結(jié)構(gòu)上，我根據(jù)學生的認知水平，我設(shè)計了 ①創(chuàng)設(shè)情境——引入概念②觀察歸納——形成概念③討論研究——深化概念④即時訓練—鞏固新知⑤總結(jié)反思——提高認識⑥任務后延——自主探究六個層次的學法，它們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目標。

六、教學程序及設(shè)想

接下來，我再具體談一談這堂課的教學過程：

(一) 創(chuàng)設(shè)情境——引入概念我經(jīng)常在思考：長期以來，我們的學生為什么對數(shù)學不感興趣，甚至害怕數(shù)學，其中的一個重要因素就是數(shù)學離學生的生活實際太遠了。事實上，數(shù)學學習應該與學生的生活融合起來，從學生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，讓他們在生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學、探究數(shù)學、認識并掌握數(shù)學。

1、由生活中的具體的數(shù)列實例引入：a、時間：時鐘、掛歷 b、植物：植物的莖

2、用古老的有關(guān)國際象棋的傳說引入，符合高一學生喜歡探究新奇奧妙事物的特點。有利于激發(fā)學生的學習興趣。

(二)觀察歸納——形成概念

由實例得出幾列數(shù)，再有目的地設(shè)計，如自然數(shù)、自然數(shù)的倒數(shù)、大于零的偶數(shù)、開關(guān)(0，1，0，1，0，1，?)、“一尺之棰，日取其半，永世不竭?！币约皬?984年到2019年我國體育健兒參加六次奧運會獲得的金牌數(shù)15，5，16，16，28，32所形成的數(shù)列，教師引導學生概括總結(jié)出本課新的知識點：數(shù)列的定義。

(三)討論研究——深化概念

課前我精心設(shè)計的幾個數(shù)列中已經(jīng)含概了有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列，等待學生觀察、討論、交流后掌握以上幾個概念。數(shù)列的相關(guān)概念：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫這個數(shù)列的項，并且依次叫做這個數(shù)列的第一項(首項)，第二項，…第n項，…。數(shù)列的一般形式可寫成：a1，a2，a3，…，an?，簡記為{an｝，其中an表示數(shù)列的第n項。 接著引導學生再觀察以上幾個數(shù)列的項與項數(shù)之間的關(guān)系，如果數(shù)列{an｝的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。 最后通過數(shù)列通項公式與函數(shù)解析式的對比研究，使學生得出數(shù)列通項公式an=f(n)的圖象是一群孤立的點。 在數(shù)列中，項數(shù)n與項an之間存在著對應關(guān)系。如果把項數(shù)n看作自變量，那么數(shù)列可以看作以自然數(shù)集(或它的有限子集{1，2，3，?，n｝)為定義域的函數(shù)當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。而數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。當我們把直角坐標系的橫坐標看作項數(shù)n，縱坐標看作項an時，我們得到的圖象就是一群孤立的點。

(四)即時訓練—鞏固新知

為了使學生達到對知識的深化理解，從而達到鞏固提高的效果，我特地設(shè)計了一組即時訓練題，并且把課本的例題熔入即時訓練題中，通過學生的觀察嘗試，討論研究，教師引導來鞏固新知識。

(五)總結(jié)反思——提高認識

由學生總結(jié)本節(jié)課所學習的主要內(nèi)容：⑴數(shù)列及其有關(guān)概念;⑵根據(jù)數(shù)列的通項公式求其任意一項;⑶根據(jù)數(shù)列的一些相鄰項求數(shù)列的通項公式;⑷數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(數(shù)列是一種特殊的函數(shù))。讓學生通過知識性內(nèi)容的小結(jié)，把課堂教學傳授的知識盡快化為學生的素質(zhì);通過數(shù)學思想方法的小結(jié)，使學生更深刻地理解數(shù)學思想方法在解題中的地位和應用，并且逐漸培養(yǎng)學生的良好的個性品質(zhì)目標。

(六)任務后延——自主探究

學生經(jīng)過以上五個環(huán)節(jié)的學習，已經(jīng)初步掌握了探究數(shù)列規(guī)律的一般方法，有待進一步提高認知水平，因此我針對學生素質(zhì)的差異設(shè)計了有層次的訓練題，留給學生課后自主探究，這樣既使學生掌握基礎(chǔ)知識，又使學有佘力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的。

七、簡述板書設(shè)計。

結(jié)束：以上，我僅從說教材，說學情，說教法，說學法，說教學程序上說明了“教什么”和“怎么教”，闡明了“為什么這樣教”。希望各位專家領(lǐng)導對本堂說課提出寶貴意見。